Umstellung e <=> ln < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Umformung von:
[mm]ln(n+1) - ln(n) \leq 1[/mm] |
Hi, an sich kein Problem: Multipliziert mit e ergibt sich fuer mich:
[mm]n+1 - n \leq e[/mm]
Und somit
[mm]1 \leq e[/mm]
In der Musterloesung steht aber als Umformung:
[mm]1 + \bruch{1}{n} \leq e[/mm]
Wo ist mein Fehler? Danke im voraus!
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Hallo,
> Hi, an sich kein Problem: Multipliziert mit e ergibt sich
> fuer mich:
>
> [mm]n+1 - n \leq e[/mm]
?????
Das ist sogar ein Riesen-Problem: Multiplizieren mit e ergäbe einfach nur:
[mm] e*ln(n+1)-e*ln(n)\le{e}
[/mm]
Das ist hier natürlich nicht zielführend. Man muss zunächst die Logarithmen auf der linken Seite zusammenfassen nach der Regel
[mm] log\left(\bruch{a}{b}\right)=log(a)-log(b)
[/mm]
Anschließend darf man die Gleichung exponieren (manche Leute sagen dazu etwas holprig: 'e hoch nehmen'). Dies darf man auch bei einer Ungleichung wegen der strengen Monotonie der exp-Funktion tun. Der Rest sind dann tatsächlich Äquivalenzumformungen.
Gruß, Diophant
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ln Summen duerfen nicht exponiert werden?
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Hallo,
> ln Summen duerfen nicht exponiert werden?
wenn man es richtig macht, schon. Aber sicherlich nicht so:
[mm] e^{x+y}\not=e^x+e^y
[/mm]
jedenfalls bis auf Sonderfälle.
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Umformung von:
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> [mm]ln(n+1) - ln(n) \leq 1[/mm]
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> Hi, an sich kein Problem: Multipliziert mit e ergibt sich
> fuer mich:
>
> [mm]n+1 - n \leq e[/mm]
>
> Und somit
>
> [mm]1 \leq e[/mm]
>
> In der Musterloesung steht aber als Umformung:
>
> [mm]1 + \bruch{1}{n} \leq e[/mm]
>
> Wo ist mein Fehler? Danke im voraus!
>
obwohl ich deinen professor nicht kenne, der dir diese aufgabe gegeben hat, kann ich mir jedoch recht gut vorstellen, was er euch damit zeigen wollte.
dein fehler in der umformung wird leichter sichtbar, wenn du dir das ganze mal schritt für schritt aufschreibst:
ln(n+1) - ln(n) [mm] \leq [/mm] 1 dann machen wir das, von dir vorgeschlagene "e"
[mm] e^{ln(n+1) - ln(n)}\leq e^{1}
[/mm]
[mm] e^{ln(n+1)}*e^{-ln(n)}\leq [/mm] e
(ich setzte mal vorraus dass dieser schritt verständlich ist)
also folgt ganz schnell:
[mm] \frac{e^{ln(n+1)}}{e^{ln(n)}}\leq [/mm] e
und nach vereinfachen folgt:
[mm] \frac{(n+1)}{n}\leq [/mm] e
was man auch als:
[mm] 1+\frac{1}{n}\leq [/mm] e schreiben kann ;)
LG Scherzkrapferl
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