Umwandlung Ekin zu Epot < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch eine Feder soll der Aufprall eines Körpers mit einer kinetischen Energie von 1,2Nm aufgenommen werden. Dazu kann das nichtlineare Verhalten der Federkonstanten einer sogenannten Pufferfeder ausgenutzt werden.
a) Um welche Strecke wird die Feder gestaucht, falls für die Federkonstante [mm] k(x)=k_1+3k_2x^2 [/mm] mit [mm] k_1=1\bruch{kN}{m} [/mm] und [mm] k_2=10^4 \bruch{kN}{m^3} [/mm] gilt?
(Hinweis: Ihr Ansatz führt zu einer quadratischen Gleichung, wenn Sie [mm] x^2=u [/mm] gesetzt haben. - Lösung: x=2,45 cm) |
Hallo,
habe den Ansatz ganz gut hinbekommen, allerdings mache ich bei der quadr. Gleichung Fehler. Was ich gerechnet habe:
Ekin=Epot
[mm] 1,2Nm=\bruch{1}{2}(k_1+3k_2x^2)
[/mm]
[mm] u=x^2
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}k_2u^2+\bruch{1}{2}k_1u-1,2Nm=0
[/mm]
hier beginnt mein Problem. Da das eine quadr. Gleichung ist, löse ich sie durch die Lösungformel.
Allerdings soll ich nun meine gegebenen Werte für [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] einsetzen?
Ich habe sie eingetzt und kriege raus vor Anwendung der Lösungsformel:
[mm] 1\bruch{kN}{m^3}u^2+\bruch{1}{30000}\bruch{kN}{m}u-\bruch{1}{12500}Nm=0
[/mm]
diese ohnehin kleine zahlen werden bei der Quadrierung (bedingt durch die Lösungsformel) noch kleiner. Mein Ergebnis stimmt außerdem nicht mit der gegebenen Lösung überein.
Was mach ich falsch bzw. wie soll ich vorgehen?
Danke :)
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bzw. könntet ihr mir vielleicht zeigen, welche Rechenschritte ihr danach habt? evtl. entdecke ich meinen Fehler...
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Hallo!
Die Formel
[mm] E_\text{spann}=\frac{1}{2}kx^2 [/mm] ist falsch.
Die Energie, die du beim Zusammendrücken einer Feder investierst, ergibt sich grundsätzlich aus "Kraft mal Weg".
Eine normale Feder, die bereits um die Strecke x gestaucht wurde, muß mit der Kraft F=kx gehalten werden. Um sie ein winziges Stück [mm] $\Delta [/mm] x$ weiter zu stauchen, brauchst du die Energie [mm] $E=kx*\Delta [/mm] x$. Danach ist die Kraft aber auch wieder größer, sodaß du für das nächste [mm] $\Delta [/mm] x$ mehr Energie benötigst...
Ich will nicht weiter auf die Mathematik eingehen, aber letztendlich bringt dich das auf ein Integral:
[mm] E=\int_0^skx\,dx
[/mm]
um die Feder aus der Ruhelage (0) um eine bestimmte Strecke s zu stauchen.
Ausrechnen:
[mm] E=k*\int_0^sx\,dx=\frac{1}{2}ks^2
[/mm]
Dein Problem ist, daß die Federkonstante nun nicht mehr konstant ist, sondern sich mit zunehmender Stauchung verändert. Setz also mal dein k(x) ein, und berechne das Integral. Diese Formel mußt du benutzen.
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Hallo!
Also, nur nochmal zur Sicherheit:
Diese Formel ist nicht falsch, sie gilt aber nur für gewöhnliche Federn. Aber in deinem Fall ist die Konstante nicht konstant, daher kannst du sie hier nicht verwenden.
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