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| Aufgabe | Reelle Lösungen für
i) | x+1 | - | x-1 | = 1
ii) |x| > |x+2|
iii) |x(2-x)| < 2 |
Hallo,
ich bitte um Kontrolle und um einen Tipp für iii)
i)
| x+1 | - | x-1 | = 1
Untersuchung des linken Betrags für x [mm] \ge [/mm] -1
x+1 - |x-1| = 1
Untersuchung des rechten Betrags ( |x-1| ) für x [mm] \ge [/mm] 1
x+1-x+1 = 1
2 = 1 Widerspruch
Weitere Untersuchung des rechten Betrags ( |x-1| ) für x <1
x+1 +x-1=1
x = 0,5
Untersuchung des linken Betrags ( |x+1| ) für x <1
-x-1-|x-1| = 1
Untersuchung des rechten Betrags ( |x-1| ) für x < 1 ( der andere Fall(x [mm] \ge [/mm] 1 ) ist nicht wichtig , da wir im Bereich x <1 sind )
-x-1+x-1 =
-2 = 1
Welche Ergebnisse kommen nun in die Lösungsmenge ?
ii) |x| > |x+2|
Untersuchung des linken Betrags für x [mm] \ge [/mm] 0
x > |x+2|
ii.1) für x [mm] \ge [/mm] -2
x > x+2
0 > 2 Widerspruch
ii.2) für x < 2
x > -x-22
2x > -2
x > -1
Unterschung des linken Betrags (|x|) für x <0 ( in diesem Berech ist der rechte Betrag (|x+2|) stets negativ , deswegen nur dieser eine Fall)
-x > |x+2|
-x > -x-2
0 > -2 wahr
iii)
| x(2-x)| < 2
für x [mm] \ge [/mm] 2
x(2-x) < 2
[mm] -x^{2} [/mm] +2x < 2
[mm] -x^{2} [/mm] +2x -2 < 0 | *(-1)
[mm] x^{2} [/mm] -2x +2 > 0
sehe hier den Fehler leider nicht..
Ich bitte um Kontrolle der Lösungen
Vielen Dank im Voraus.
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Hi,
> Reelle Lösungen für
>
> i) | x+1 | - | x-1 | = 1
>
> ii) |x| > |x+2|
>
> iii) |x(2-x)| < 2
>
> Hallo,
> ich bitte um Kontrolle und um einen Tipp für iii)
>
> i)
>
> | x+1 | - | x-1 | = 1
> Untersuchung des linken Betrags für x [mm]\ge[/mm] -1
>
> x+1 - |x-1| = 1
> Untersuchung des rechten Betrags ( |x-1| ) für x [mm]\ge[/mm] 1
> x+1-x+1 = 1
> 2 = 1 Widerspruch
>
> Weitere Untersuchung des rechten Betrags ( |x-1| ) für x
> <1
> x+1 +x-1=1
> x = 0,5
>
> Untersuchung des linken Betrags ( |x+1| ) für x <1
>
> -x-1-|x-1| = 1
> Untersuchung des rechten Betrags ( |x-1| ) für x < 1 (
> der andere Fall(x [mm]\ge[/mm] 1 ) ist nicht wichtig , da wir im
> Bereich x <1 sind )
>
> -x-1+x-1 =
> -2 = 1
>
> Welche Ergebnisse kommen nun in die Lösungsmenge ?
Nur das Ergebnis, was du wirklich ermittelt hast: [mm] x=\frac{1}{2}, [/mm] also [mm] L=\{1/2\}
[/mm]
>
>
>
> ii) |x| > |x+2|
> Untersuchung des linken Betrags für x [mm]\ge[/mm] 0
> x > |x+2|
> ii.1) für x [mm]\ge[/mm] -2
> x > x+2
> 0 > 2 Widerspruch
>
> ii.2) für x < 2
> x > -x-22
> 2x > -2
> x > -1
>
> Unterschung des linken Betrags (|x|) für x <0 ( in diesem
> Berech ist der rechte Betrag (|x+2|) stets negativ ,
> deswegen nur dieser eine Fall)
>
> -x > |x+2|
> -x > -x-2
> 0 > -2 wahr
Und was ist nun deine Schlussfolgerung?
Ich würde auch anders an die Sache herangehen: Sei [mm] x\not=0, [/mm] dann folgt aus der obigen Ungleichung diese hier:
(*) [mm] 1>\left|\frac{x+2}{x}\right|=\left|1+\frac{2}{x}\right|
[/mm]
Diese ist meiner Meinung nach übersichtlicher und man kann ja nahezu die Lösung schon ablesen. Ein wichtiges Resultat, was man sofort sieht: x muss negativ sein.
>
>
>
> iii)
> | x(2-x)| < 2
> für x [mm]\ge[/mm] 2
> x(2-x) < 2
> [mm]-x^{2}[/mm] +2x < 2
> [mm]-x^{2}[/mm] +2x -2 < 0 | *(-1)
> [mm]x^{2}[/mm] -2x +2 > 0
> sehe hier den Fehler leider nicht..
Mach dir doch ruhig erst einmal klar, wie x(x-2) überhaupt grafisch ausschaut. Da siehst du nämlich sofort, welche Werte auf jedenfall schon zur Lösungsmenge dazugehören. Danach ist dir auch klar, welche für welche x die Funktion negativ ist.
Hinweis: Es ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei 0 und 2.
>
>
> Ich bitte um Kontrolle der Lösungen
>
> Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
also zur ii) wir haben noch neu mit dem Thema angefangen und sollen es so lösen, wie ich auch in i) vorgegangen bin. Da das noch Neuland ist , würde ich gerne diese Methode draufhaben. Ist denn meine Lösung falsch ? Ich weiß halt nicht, was ich zur Lösungsmenge schreiben soll.
Und zur iii) das habe ich mir schon zeichnen lassen und grafisch sehe ich auch die Lösungen, aber ich muss es ausrechnen, daher würde ich gerne wissen, was ich falsch gemacht habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 So 20.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> also zur ii) wir haben noch neu mit dem Thema angefangen
> und sollen es so lösen, wie ich auch in i) vorgegangen
> bin. Da das noch Neuland ist , würde ich gerne diese
> Methode draufhaben. Ist denn meine Lösung falsch ? Ich
> weiß halt nicht, was ich zur Lösungsmenge schreiben
> soll.
>
>
> Und zur iii) das habe ich mir schon zeichnen lassen und
> grafisch sehe ich auch die Lösungen, aber ich muss es
> ausrechnen, daher würde ich gerne wissen, was ich falsch
> gemacht habe.
ich schau's mir jetzt unabhängig von Richie mal an:
Aufgabe war, die Lösungsmenge aller reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit
$|x| > [mm] |x+2|\,$
[/mm]
anzugeben.
> Untersuchung des linken Betrags für x $ [mm] \ge [/mm] $ 0
> x > |x+2|
> ii.1) für x $ [mm] \ge [/mm] $ -2
> x > x+2
> 0 > 2 Widerspruch
Du solltest hier durchaus mal [mm] $\Leftarrow$ [/mm] bzw. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] bzw. [mm] $\gdw$-Symbole,
[/mm]
wenn angebracht, benutzen. Aber i.W. ist das okay:
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ und $x [mm] \ge [/mm] -2$ (fällt Dir dabei was auf?) geht
$|x| > |x+2|$
gleichwertig über in
$x > x+2$ bzw. $0 > [mm] 2\,.$
[/mm]
Also kein $x [mm] \ge [/mm] 0$ (fällt Dir bei meiner Wortwahl hier auch was auf?)
erfüllt die obige Ungleichung.
> ii.2) für x < 2
Ähm, Du meinst, dass nun neben $x [mm] \ge [/mm] 0$ auch der Fall $x < [mm] \red{\;-\;}2$ [/mm] betrachtet
werden sollte... fällt Dir auf, dass es diesen Fall gar nicht geben kann?
(Dein Fehler ist vielleicht nur ein Folgefehler, weil Du das rotmarkierte
Minuszeichen verloren hattest...)
> x > -x-22
> 2x > -2
> x > -1
??? Siehe oben!
> Unterschung des linken Betrags (|x|) für x <0 ( in diesem Berech ist der
> rechte Betrag (|x+2|) stets negativ , deswegen nur dieser eine Fall)
Na, das ist doch Quatsch: Wenn $x < [mm] 0\,$ [/mm] ist, dann gibt es durchaus die zwei
Zusatzfälle: Es ist zudem $x [mm] \le [/mm] -2$ oder es ist $x [mm] \ge [/mm] -2$.
Du untersuchst nun den Fall: Sei $x < [mm] 0\,$ [/mm] und zudem $x [mm] \le -2\,,$ [/mm] dann gilt
$|x| > |x+2|$
[mm] $\iff$
[/mm]
> -x > |x+2|
[mm] $\iff$
[/mm]
> -x > -x-2
[mm] $\iff$
[/mm]
> 0 > -2 wahr
Strenggenommen brauchst Du nun nur folgendes:
Sei $x [mm] \le [/mm] -2$ (dann ist auch $x < [mm] 0\,$ [/mm] - fällt Dir was auf?). Dann gilt
$-2 < 0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$-2-x < -x$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$-2-x < |x|$ (wegen $x [mm] <0\,$ [/mm] ist $|x|=-x$)
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$-(2+x) < |x|$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$|2+x| < |x|$ (wegen $x [mm] \le [/mm] -2$ ist $|x+2|=-(x+2)$).
Also gilt die obige Ungleichung FÜR ALLE reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit $x [mm] \le -2\,.$
[/mm]
Und nun bleibt noch ein weiterer Fall:
Der Fall
$-2 [mm] \le [/mm] x < 0$
ist noch zu untersuchen!
Und vielleicht wird Dir mal klarer, was wir hier eigentlich machen, wenn ich
es mal anders notiere:
Es ist
[mm] $\IL:=\{x \in \IR:\;\;|x| > |x+2|\}$
[/mm]
gesucht.
Nun gilt
[mm] $\IR=\blue{\{x \in \IR:\;\; x \ge 0 \wedge x \ge -2\}}$ $\cup$ $\overbrace{\{x \in \IR:\;\; x \ge 0 \wedge x \le -2\}}^{=\varnothing}$ $\cup$ $\green{\{x \in \IR:\;\; x < 0 \wedge x \le -2\}}$ $\cup$ $\red{\{x \in \IR:\;\; x < 0 \wedge x \ge -2\}}$
[/mm]
und entsprechend (beachte, dass die leere Menge [mm] $\varnothing$ [/mm] oben nicht besonders
interessant ist)
[mm] $\IL=\blue{\{x \in \IR:\;\; x \ge 0 \wedge x \ge -2 \wedge |x| > |x+2|\}}$ $\cup$ $\green{\{x \in \IR:\;\; x < 0 \wedge x \le -2 \wedge |x| > |x+2|\}}$ $\cup$ $\red{\{x \in \IR:\;\; x < 0 \wedge x \ge -2 \wedge |x| > |x+2|\}}$
[/mm]
[mm] $\equiv:$ $\blue{\IL_1}$ \cup $\green{\IL_2}$ $\cup$ $\red{\IL_3}\,.$
[/mm]
(Beachte, dass die blaue Menge rechts von [mm] $\IR=\,$ [/mm] nicht mit [mm] $\IL_1$ [/mm] übereinstimmt - die
farbige Markierung soll dort nur andeuten, dass [mm] $\IL_1$ [/mm] mithilfe der vorangegangenen
blaumarkierten Menge definiert wurde... Rest analog!)
Gesehen hast Du oben:
[mm] $\blue{\IL_1}=\varnothing$
[/mm]
und (beachte, dass in [mm] $\IL_2$ [/mm] schon $x < [mm] 0\,$ [/mm] behandelt wird - Dein Fall ii.2)
war unnötig)
[mm] $\green{\IL_2}=\{x \in \IR: \;\; x \le 2\}=(-\infty,-2]\,.$
[/mm]
[mm] $\red{\IL_3}$ [/mm] fehlt Dir noch!
> iii)
> | x(2-x)| < 2
Auch hier nochmal zu den Fallunterscheidungen: Du musst Dir Gedanken
machen, wie es mit dem Vorzeichen des Produkts
[mm] $x*(2-x)\,$
[/mm]
aussieht (oder Du schreibst direkt [mm] $|x*(2-x)|=|x|*|2-x|\,$).
[/mm]
Wenn $x [mm] \ge [/mm] 2$ ist, dann ist auch $x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] aber dann ist
$2-x [mm] \le 0\,.$
[/mm]
Für $x [mm] \ge [/mm] 2$ gilt also
[mm] $|x*(2-x)|=x*(-(2-x))=-x*(2-x)\,.$
[/mm]
Damit kannst Du dann weiterarbeiten.
Nun gibt es noch den Fall, dass
$x [mm] \le [/mm] 2$
ist (meinetwegen kannst Du auch $x < [mm] 2\,$ [/mm] betrachten).
Dann gibt es aber noch zwei Unterfälle:
Zudem sei
$0 [mm] \le [/mm] x$
oder es sei
$x [mm] \le [/mm] 0$ ...
Im Falle
$0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2$
haben wir doch
$x*(2-x) [mm] \ge [/mm] 0$
und daher
$|x*(2-x)|=x*(2-x)$
und folglich...
Und im Falle
$x [mm] \le [/mm] 0$ [mm] ($\le [/mm] 2$)
haben wir
$x*(2-x) [mm] \le [/mm] 0$
und daher
$|x*(2-x)|=-(x*(2-x))$
und folglich...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel, vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Die ist so ausführlich, dass ich sie mehr als zehn Mal lesen musste.
Ich habe einen Folgefehler gemacht, habe nämlich das Vorzeichen vergessen mitzunehmen bei der -2
So, ich habe nun ein wenig Struktur reingebracht. Unabhängig von der Angabe der Lösungsmenge geht es mir darum, alles sauber aufzuschreiben und alle Fälle zu behandeln.
Daher:
|x| > |x+2|
Fall 1 : x [mm] \ge [/mm] 0
x > |x+2|
=> Fall 1.1
für x [mm] \ge [/mm] -2 ( bei x [mm] \ge [/mm] 0)
x > x+2
0 > 2 => Widerspruch
=> Fall 1.12
für x < -2 ( bei x [mm] \ge [/mm] 0)
=> x > -x-2
=> 2x > -2
=> x > -1
Fall 2:
x < 0
-x > |x+2|
Fall 2.1 für x [mm] \ge [/mm] -2 (bei x < 0)
=> -x > x+2
=> -x > 2
=> x < -1
Fall 2.2 für x < -2 ( bei x < 0)
-x > -x-2
0 > -2
Ich hoffe, das ist nun ein wenig strukturierter.
Es müssten doch jetzt alle Fälle ( inklusive Zusatzfälle ) behandelt worden sein.
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Hallo,
Fall 1.1.
ist ok
Fall 1.2.
du hast korrekt begonnen mit [mm] x\ge0 [/mm] und x<-2, jetzt erübrigen sich doch alle weiteren Rechnungen, es gibt keine Zahl, die größer/gleich Null ist und gleichzeitig kleiner als -2 sein soll
Fall 2.1.
-x>x+2
-2x>2 hier fehlt der Faktor 2
x<-1
aus dem Fall 2.1. bekommst du für die Lösungsmenge -2 [mm] \le [/mm] x < 1
Fall 2.2.
du bekommst eine wahre Aussage 0>-2
aus dem Fall 2.2. bekommst du für die Lösungsmenge x<-2
Jetzt benötigst du noch die Lösungsmenge deiner gegebenen Ungleichung, vereinige die Lösungsmengen aus den Fällen 2.1. und 2.2.
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mo 21.04.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen Dank für die hilfreichen Antworten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 20.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Reelle Lösungen für
>
> i) | x+1 | - | x-1 | = 1
mal einen alternativen Vorschlag:
$|x+1|=|x-1|+1$
[mm] $\iff$ $(x+1)^2=(x-1)^2+2|x-1|+1$
[/mm]
Das bringt dann bei der Fallunterscheidung die Vereinfachung, dass man
nur noch
$x [mm] \ge [/mm] 1$ oder $x [mm] \le [/mm] 1$ (Du kannst auch [mm] "$x<1\,$" [/mm] rechts nehmen)
zu untersuchen braucht.
> ii) |x| > |x+2|
Da für $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ stets gilt
$a < [mm] b\,$ $\iff$ $a^2 [/mm] < [mm] b^2\,,$
[/mm]
folgt
$|x| > |x+2|$
[mm] $\iff$ $x^2 [/mm] > [mm] (x+2)^2$ [/mm] (beachte: [mm] $|x+2|^2=(x+2)^2$).
[/mm]
P.S. Nebenbei: Du könntest solche Aufgaben durchaus auch erstmal
*geometrisch* angehen!
Gruß,
Marcel
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