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Hallo,
ich habe mal eine allgemeine Frage, undzwar aus Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit, aber wieso gilt das nicht in beide Richtungen, sprich aus Unkorreliertheit folgt Unabhängigkeit?
Habe es versucht zu googlen aber irgendwie finde ich schwer was dazu..
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 So 22.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo AragornII!
Erstmal: Schön, dass meine Korrektur komplett durchgelesen hast. 
> ich habe mal eine allgemeine Frage, undzwar aus Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit,
*Sprachlich* kann ich mir das übrigens auch nicht merken, aber
ich gehe immer kurz im Kopf beide Richtungen durch.
Es kommt natürlich auf die Definition eurer Kovarianz an, aber
am Ende erhält man in der Regel durch den Verschiebungssatz
$Cov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)*E(Y)$.
Nun seien [mm] $X\$ [/mm] und [mm] $Y\$ [/mm] unabhängig sind, dann gilt:
[mm] $E(X*Y)=E(X)*E(Y)\qquad\Longleftrightarrow\qquad E(X*Y)-E(X)*E(Y)=0\qquad(\star)$.
[/mm]
Demnach folgt:
[mm] Cov(X,Y)=E(X*Y)-E(X)*E(Y)\overset{(\star)}{=}0.
[/mm]
> aber wieso gilt das
> nicht in beide Richtungen, sprich aus Unkorreliertheit
> folgt Unabhängigkeit?
Auf Wikipedia gibt es zum Beispiel zwei Gegenbeispiele.
Gruß
DieAcht
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Hiho,
> aber wieso gilt das nicht in beide Richtungen, sprich aus Unkorreliertheit folgt Unabhängigkeit?
weil es eben Gegenbeispiele dafür gibt.
Da Wikipedia nur diskrete Gegenbeispiele hat, hier ein stetiges:
Seien X,Y Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte $f(x,y) = [mm] \bruch{1}{\pi}\exp\left(\bruch{-(x^2+y^2)}{2}\right)*1_{x*sgn(y) \ge y*sgn(x)}$
[/mm]
Zeige: X und Y sind standardnormalverteilt und unkorreliert, aber offensichtlich nicht unabhängig (warum nicht?)
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 So 22.03.2015 | | Autor: | AragornII |
ok danke :)
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