Unabhängigkeit chark. Funktion < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:22 Mi 06.06.2012 | | Autor: | kalor |
Hi!
Wenn ich für einen stochastischen Prozess gezeigt habe: [mm] $s\le [/mm] t$
$$ [mm] E[\exp{(iu^{\operatorname{tr}}(X_t-X_s)}|\mathcal{F}_s] [/mm] = [mm] \exp{(-\frac{1}{2}|u|^2(t-s))}$$
[/mm]
d.h. die charakteristische Funktion der bedingten Verteilung von [mm] $X_t-X_s$ [/mm] gegeben [mm] $\mathcal{F}_S$ [/mm] ist gleich der charakteristischen Funktion einer d-dimensionalen Normalverteilung mit Erwartungswert $0$ und Kovarianzmatrix $(t-s)Id$, wobei $Id$ die [mm] $d\times [/mm] d$ Einheitsmatrix ist.
Wieso kann ich dann daraus folgern, dass [mm] $X_t-X_s$ [/mm] undabhängig von [mm] $\mathcal{F}_s$ [/mm] ist und [mm] $\mathcal{N}(0,(t-s)Id)$ [/mm] verteilt?
Grüsse
kalor
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Hiho,
> [mm]E[\exp{(iu^{\operatorname{tr}}(X_t-X_s)}|\mathcal{F}_s] = \exp{(-\frac{1}{2}|u|^2(t-s))}[/mm]
Bilde mal auf beiden Seiten den Erwartungswert, dann steht da was? Was heißt das?
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Mi 06.06.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo Gonozal!
Danke für deine Antwort, damit ist mir klar, wieso es Normalverteilt sein muss. Aber wieso gilt die Unabhängigkeit?
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Hiho,
anschaulich und "lapidar" gesagt, ist die Verteilung von [mm] $X_t [/mm] - [mm] X_s$ [/mm] nun also Unabhängig von [mm] $\mathcal{F}_s$ [/mm] immer gleich.
Mathematisch zeigt man das bspw wie folgt:
/* Das hier war leider falsch ^^ (siehe Post von Physicus)
Es gilt für [mm] $A\in\mathcal{F_s}$:
[/mm]
[mm] $E[1_A*(X_t [/mm] - [mm] X_s)] [/mm] = [mm] E[1_A*E[(X_t [/mm] - [mm] X_s)|\mathcal{F}_s]] [/mm] = [mm] E[1_A*0] [/mm] = 0 = [mm] P(A)*E[X_t [/mm] - [mm] X_s]$
[/mm]
d.h. [mm] $X_t [/mm] - [mm] X_s$ [/mm] ist Unabhängig von jedem [mm] $A\in\mathcal{F}_s$ [/mm] und damit von [mm] $\mathcal{F}_s$
[/mm]
*/
So, nach längerem Überlegen seh ich gerade keinen schönen Weg das "mal eben" zu beweisen.... ich setz die Frage mal auf "Halb beantwortet" und vielleicht fällt jemandem ja etwas eher was dazu ein 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mi 06.06.2012 | | Autor: | physicus |
Entschuldigt, wenn ich mich einfach einschalte, aber wieso sollte
[mm] $$E[(X_t-X_s)|\mathcal{F}_s] [/mm] =0 $$
sein?
Gruss
physicus
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Hiho,
> Entschuldigt, wenn ich mich einfach einschalte,
da gibts nix zu entschuldigen
> aber wieso sollte
>
> [mm]E[(X_t-X_s)|\mathcal{F}_s] =0[/mm]
>
> sein?
da hast du natürlich recht, da war ich etwas vorschnell im Tippen
Ich korrigier mal nach.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hi,
eine Frage, die eine Rolle spielt, hätte ich aber dennoch: Ist [mm] $\mathcal{F}_s$ [/mm] die natürliche Filtration, d.h. [mm] $\mathcal{F}_s [/mm] = [mm] \sigma\{X_j, j\le s\}$ [/mm] oder eine beliebige Filtration?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Mi 06.06.2012 | | Autor: | kalor |
Sie ist rechtseitigstetig und vollständig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Sa 07.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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