Unabhängigkeit von ZVA < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Dicen |
| Aufgabe | | Seien (Ω, 2Ω , P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → {0, 1, . . . , 10} Laplace-verteilt. Desweiteren sei Y = 25 − (X − [mm] 5)^2 [/mm] . Uberpr üfen Sie die Zufallsvariablen X und Y auf Unkorreliertheit und Unabhängigkeit. |
Hey, ich bins wieder. :D
Also, das ist eine Übungsaufgabe, die wir vor längerem besprochen haben und mir ist nicht ganz klar, wieso die Lösung so aussieht, wie sie es tut.
Also Unkorreliertheit haben wir gezeigt, kein Problem.
Aber am Ende steht bei der Unabhängigkeit: [mm] P(Y=0|X=0)=$\frac{2/11*1/11}{1/11}=|=P(X=0)*P(Y=0)$
[/mm]
Irgedwie zeigt man damit doch nichts habe ich den Eindruck und wenn P(Y=0,X=0) wirklich aussehen würde, dann wären zumindest die Ereignisse Y=0 und X=0 unabhängig, da P(Y=0|X=0)=P(Y=0) wäre.
Ich hätte folgendes gemacht: P(X=0, Y=0)=1/11 (das es nur 11 Tupel gibt, die Auftreten können: (0,0),(1,9),(2,16),(3,21),(4,24),(5,25),(6,24),(7,21),(8,16),(9,1),(10,0) ) und P(Y=0)*P(X=0)=2/11*1/11.
Ich hoffe ihr könnt meine Verwirrung auflösen. :)
|
|
| |
|
Hallo
> Seien (Ω, 2Ω , P ) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
> und X : Ω → {0, 1, . . . , 10} Laplace-verteilt.
> Desweiteren sei Y = 25 − (X − [mm] 5)^2 [/mm] . Uberpr üfen Sie
> die Zufallsvariablen X und Y auf Unkorreliertheit und
> Unabhängigkeit.
> Hey, ich bins wieder. :D
>
Ich habe mal die Aufgabe editiert(zumindest so wie ich sie mir denke, ich habe ein Quadrat eingefügt)
> Also, das ist eine Übungsaufgabe, die wir vor längerem
> besprochen haben und mir ist nicht ganz klar, wieso die
> Lösung so aussieht, wie sie es tut.
>
> Also Unkorreliertheit haben wir gezeigt, kein Problem.
> Aber am Ende steht bei der Unabhängigkeit:
> P(Y=0|X=0)=[mm]\frac{2/11*1/11}{1/11}=|=P(X=0)*P(Y=0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
Wie man darauf kommt, ist mir auch schleierhaft. Es gilt doch
$\left\lbrace {\omega \in \Omega \; \middle| \; X(\omega)=0\right\rbrace \subseteq \left\lbrace {\omega \in \Omega \; \middle| \; Y(\omega)=0\right\rbrace$
Was ist dann $P(X=0 \cap Y=0)$ und was bedeutet dies für die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(Y=0 \; | \; X=0)$?
> Irgedwie zeigt man damit doch nichts habe ich den Eindruck
> und wenn P(Y=0,X=0) wirklich aussehen würde, dann wären
> zumindest die Ereignisse Y=0 und X=0 unabhängig, da
> P(Y=0|X=0)=P(Y=0) wäre.
>
> Ich hätte folgendes gemacht: P(X=0, Y=0)=1/11 (das es nur
> 11 Tupel gibt, die Auftreten können:
> (0,0),(1,9),(2,16),(3,21),(4,24),(5,25),(6,24),(7,21),(8,16),(9,1),(10,0)
> ) und P(Y=0)*P(X=0)=2/11*1/11.
>
> Ich hoffe ihr könnt meine Verwirrung auflösen. :)
Viele Grüße
Blasco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Dicen |
> Hallo
> > Seien (Ω, 2Ω , P ) ein diskreter
> Wahrscheinlichkeitsraum
> > und X : Ω → {0, 1, . . . , 10} Laplace-verteilt.
> > Desweiteren sei Y = 25 − (X − [mm]5)^2[/mm] . Uberpr üfen Sie
> > die Zufallsvariablen X und Y auf Unkorreliertheit und
> > Unabhängigkeit.
> > Hey, ich bins wieder. :D
> >
> Ich habe mal die Aufgabe editiert(zumindest so wie ich sie
> mir denke, ich habe ein Quadrat eingefügt)
Ja, mit Quadrat! Tut mir Leid, hab ich verschwitzt.
> > Also, das ist eine Übungsaufgabe, die wir vor längerem
> > besprochen haben und mir ist nicht ganz klar, wieso die
> > Lösung so aussieht, wie sie es tut.
> >
> > Also Unkorreliertheit haben wir gezeigt, kein Problem.
> > Aber am Ende steht bei der Unabhängigkeit:
> > P(Y=0|X=0)=[mm]\frac{2/11*1/11}{1/11}=|=P(X=0)*P(Y=0)[/mm]
> >
> Wie man darauf kommt, ist mir auch schleierhaft. Es gilt
> doch
> [mm]\left\lbrace {\omega \in \Omega \; \middle| \; X(\omega)=0\right\rbrace \subseteq \left\lbrace {\omega \in \Omega \; \middle| \; Y(\omega)=0\right\rbrace[/mm]
> Was ist dann [mm]P(X=0 \cap Y=0)[/mm] und was bedeutet dies für die
> bedingte Wahrscheinlichkeit [mm]P(Y=0 \; | \; X=0)[/mm]?
Nunja die bedingte Wahrscheinlichkeit ist halt 1. Wenn X=0 schon eingetroffen, dann folgt "automatisch", dass Y=0.
Rechnerisch ist das sowas wie: [mm] $P(Y=0|X=0)=\frac{P(Y=0,X=0)}{P(X=0)}$. [/mm] Und wenn meine Überlegungen zu P(Y=0,X=0) gestimmt haben, wäre das nunmal [mm] $=\frac{1/11}{1/11}=1$.
[/mm]
Nicht wahr?
Daraus folgt dann $P(Y=0|X=0)=1$, aber $P(Y=0)=2/11$ und daher gibt es ein Ereignis, für das X und Y abhängig sind.
Passt das so?
|
|
|
| |
|
> > Hallo
> > > Seien (Ω, 2Ω , P ) ein diskreter
> > Wahrscheinlichkeitsraum
> > > und X : Ω → {0, 1, . . . , 10} Laplace-verteilt.
> > > Desweiteren sei Y = 25 − (X − [mm]5)^2[/mm] . Uberpr üfen Sie
> > > die Zufallsvariablen X und Y auf Unkorreliertheit und
> > > Unabhängigkeit.
> > > Hey, ich bins wieder. :D
> > >
> > Ich habe mal die Aufgabe editiert(zumindest so wie ich sie
> > mir denke, ich habe ein Quadrat eingefügt)
>
> Ja, mit Quadrat! Tut mir Leid, hab ich verschwitzt.
>
> > > Also, das ist eine Übungsaufgabe, die wir vor längerem
> > > besprochen haben und mir ist nicht ganz klar, wieso die
> > > Lösung so aussieht, wie sie es tut.
> > >
> > > Also Unkorreliertheit haben wir gezeigt, kein Problem.
> > > Aber am Ende steht bei der Unabhängigkeit:
> > > P(Y=0|X=0)=[mm]\frac{2/11*1/11}{1/11}=|=P(X=0)*P(Y=0)[/mm]
> > >
> > Wie man darauf kommt, ist mir auch schleierhaft. Es gilt
> > doch
> > [mm]\left\lbrace {\omega \in \Omega \; \middle| \; X(\omega)=0\right\rbrace \subseteq \left\lbrace {\omega \in \Omega \; \middle| \; Y(\omega)=0\right\rbrace[/mm]
> > Was ist dann [mm]P(X=0 \cap Y=0)[/mm] und was bedeutet dies für die
> > bedingte Wahrscheinlichkeit [mm]P(Y=0 \; | \; X=0)[/mm]?
>
> Nunja die bedingte Wahrscheinlichkeit ist halt 1. Wenn X=0
> schon eingetroffen, dann folgt "automatisch", dass Y=0.
> Rechnerisch ist das sowas wie:
> [mm]P(Y=0|X=0)=\frac{P(Y=0,X=0)}{P(X=0)}[/mm]. Und wenn meine
> Überlegungen zu P(Y=0,X=0) gestimmt haben, wäre das
> nunmal [mm]=\frac{1/11}{1/11}=1[/mm].
Nein, die Wahrscheinlichkeit $P(X=0, Y=0)$ ist nicht 1, denk darüber nochmal nach.
>
> Nicht wahr?
> Daraus folgt dann [mm]P(Y=0|X=0)=1[/mm], aber [mm]P(Y=0)=2/11[/mm] und daher
> gibt es ein Ereignis, für das X und Y abhängig sind.
>
> Passt das so?
Du musst zeigen, dass
[mm] $P(X=0,Y=0)\not=P(X=0) \cdot [/mm] P(Y=0)$
Ich fang mal an mit
$P(X=0,Y=0)=P(Y=0 [mm] \; [/mm] | [mm] \; X=0)\cdot P(X=0)=\hdots$ [/mm]
Und jetzt du weiter
Eine gute Nacht
Blasco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 So 29.07.2012 | | Autor: | Dicen |
> > > Hallo
> > > > Seien (Ω, 2Ω , P ) ein diskreter
> > > Wahrscheinlichkeitsraum
> > > > und X : Ω → {0, 1, . . . , 10} Laplace-verteilt.
> > > > Desweiteren sei Y = 25 − (X − [mm]5)^2[/mm] . Uberpr üfen Sie
> > > > die Zufallsvariablen X und Y auf Unkorreliertheit und
> > > > Unabhängigkeit.
> > > > Hey, ich bins wieder. :D
> > > >
> > > Ich habe mal die Aufgabe editiert(zumindest so wie ich sie
> > > mir denke, ich habe ein Quadrat eingefügt)
> >
> > Ja, mit Quadrat! Tut mir Leid, hab ich verschwitzt.
> >
> > > > Also, das ist eine Übungsaufgabe, die wir vor längerem
> > > > besprochen haben und mir ist nicht ganz klar, wieso die
> > > > Lösung so aussieht, wie sie es tut.
> > > >
> > > > Also Unkorreliertheit haben wir gezeigt, kein Problem.
> > > > Aber am Ende steht bei der Unabhängigkeit:
> > > > P(Y=0|X=0)=[mm]\frac{2/11*1/11}{1/11}=|=P(X=0)*P(Y=0)[/mm]
> > > >
> > > Wie man darauf kommt, ist mir auch schleierhaft. Es gilt
> > > doch
> > > [mm]\left\lbrace {\omega \in \Omega \; \middle| \; X(\omega)=0\right\rbrace \subseteq \left\lbrace {\omega \in \Omega \; \middle| \; Y(\omega)=0\right\rbrace[/mm]
> > > Was ist dann [mm]P(X=0 \cap Y=0)[/mm] und was bedeutet dies für die
> > > bedingte Wahrscheinlichkeit [mm]P(Y=0 \; | \; X=0)[/mm]?
> >
> > Nunja die bedingte Wahrscheinlichkeit ist halt 1. Wenn X=0
> > schon eingetroffen, dann folgt "automatisch", dass Y=0.
> > Rechnerisch ist das sowas wie:
> > [mm]P(Y=0|X=0)=\frac{P(Y=0,X=0)}{P(X=0)}[/mm]. Und wenn meine
> > Überlegungen zu P(Y=0,X=0) gestimmt haben, wäre das
> > nunmal [mm]=\frac{1/11}{1/11}=1[/mm].
>
> Nein, die Wahrscheinlichkeit [mm]P(X=0, Y=0)[/mm] ist nicht 1, denk
> darüber nochmal nach.
Das habe ich ja auch nicht gesagt, sondern ich meinte die Wahrscheinlichkeit zu P(Y=0|X=0) ist 1.
> >
> > Nicht wahr?
> > Daraus folgt dann [mm]P(Y=0|X=0)=1[/mm], aber [mm]P(Y=0)=2/11[/mm] und
> daher
> > gibt es ein Ereignis, für das X und Y abhängig sind.
> >
> > Passt das so?
> Du musst zeigen, dass
> [mm]P(X=0,Y=0)\not=P(X=0) \cdot P(Y=0)[/mm]
> Ich fang mal an mit
> [mm]P(X=0,Y=0)=P(Y=0 \; | \; X=0)\cdot P(X=0)=\hdots[/mm]
> Und jetzt du weiter
>
> Eine gute Nacht
> Blasco
Ja ok, also P(X=0)*P(Y=0)= 2/121.
P(X=0, Y=0)=P(Y=0|X=0)*(P(X=0)=1*1/11=1/11 und das ist undgleich P(X=0)*P(Y=0), nicht wahr?
|
|
|
| |
|
> > > > Hallo
> > > > > Seien (Ω, 2Ω , P ) ein diskreter
> > > > Wahrscheinlichkeitsraum
> > > > > und X : Ω → {0, 1, . . . , 10} Laplace-verteilt.
> > > > > Desweiteren sei Y = 25 − (X − [mm]5)^2[/mm] . Uberpr üfen Sie
> > > > > die Zufallsvariablen X und Y auf Unkorreliertheit und
> > > > > Unabhängigkeit.
> > > > > Hey, ich bins wieder. :D
> > > > >
> > > > Ich habe mal die Aufgabe editiert(zumindest so wie ich sie
> > > > mir denke, ich habe ein Quadrat eingefügt)
> > >
> > > Ja, mit Quadrat! Tut mir Leid, hab ich verschwitzt.
> > >
> > > > > Also, das ist eine Übungsaufgabe, die wir vor längerem
> > > > > besprochen haben und mir ist nicht ganz klar, wieso die
> > > > > Lösung so aussieht, wie sie es tut.
> > > > >
> > > > > Also Unkorreliertheit haben wir gezeigt, kein Problem.
> > > > > Aber am Ende steht bei der Unabhängigkeit:
> > > > > P(Y=0|X=0)=[mm]\frac{2/11*1/11}{1/11}=|=P(X=0)*P(Y=0)[/mm]
> > > > >
> > > > Wie man darauf kommt, ist mir auch schleierhaft. Es gilt
> > > > doch
> > > > [mm]\left\lbrace {\omega \in \Omega \; \middle| \; X(\omega)=0\right\rbrace \subseteq \left\lbrace {\omega \in \Omega \; \middle| \; Y(\omega)=0\right\rbrace[/mm]
> > > > Was ist dann [mm]P(X=0 \cap Y=0)[/mm] und was bedeutet dies für die
> > > > bedingte Wahrscheinlichkeit [mm]P(Y=0 \; | \; X=0)[/mm]?
> > >
>
> > > Nunja die bedingte Wahrscheinlichkeit ist halt 1. Wenn X=0
> > > schon eingetroffen, dann folgt "automatisch", dass Y=0.
> > > Rechnerisch ist das sowas wie:
> > > [mm]P(Y=0|X=0)=\frac{P(Y=0,X=0)}{P(X=0)}[/mm]. Und wenn meine
> > > Überlegungen zu P(Y=0,X=0) gestimmt haben, wäre das
> > > nunmal [mm]=\frac{1/11}{1/11}=1[/mm].
> >
> > Nein, die Wahrscheinlichkeit [mm]P(X=0, Y=0)[/mm] ist nicht 1, denk
> > darüber nochmal nach.
>
> Das habe ich ja auch nicht gesagt, sondern ich meinte die
> Wahrscheinlichkeit zu P(Y=0|X=0) ist 1.
>
> > >
> > > Nicht wahr?
> > > Daraus folgt dann [mm]P(Y=0|X=0)=1[/mm], aber [mm]P(Y=0)=2/11[/mm] und
> > daher
> > > gibt es ein Ereignis, für das X und Y abhängig sind.
> > >
> > > Passt das so?
> > Du musst zeigen, dass
> > [mm]P(X=0,Y=0)\not=P(X=0) \cdot P(Y=0)[/mm]
> > Ich fang mal an
> mit
> > [mm]P(X=0,Y=0)=P(Y=0 \; | \; X=0)\cdot P(X=0)=\hdots[/mm]
> > Und jetzt du weiter
> >
> > Eine gute Nacht
> > Blasco
>
> Ja ok, also P(X=0)*P(Y=0)= 2/121.
> P(X=0, Y=0)=P(Y=0|X=0)*(P(X=0)=1*1/11=1/11 und das ist
> undgleich P(X=0)*P(Y=0), nicht wahr?
Ja wenn man sich überlegt, dass [mm] $P(Y=0)\not=1$ [/mm] ist, dann stimmt das so.
Viele Grüße und einen schönen Sonntag
>
|
|
|
|
