Unb. Integral und Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Di 05.01.2010 | | Autor: | dawu |
| Aufgabe | $I = [mm] \int^\infty_{-\infty} \frac{\cos(t)}{1 + t^2} \mathrm{d}t [/mm] = [mm] \int^\infty_{-\infty} \underbrace{\frac{e^{it}}{2(1 + t^2)}}_{|e^{iz}| \leq 1, \mathrm{Re} z \geq 0} \mathrm{d}t [/mm] + [mm] \int^\infty_{-\infty} \underbrace{\frac{e^{-it}}{2(1 + t^2)}}_{\ast} \mathrm{d}t$
[/mm]
[mm] $\ast$ [/mm] entsprechende Argumentation mit unterer Halbebene
$I = [mm] \mathrm{Re} \left( \int^\infty_{-\infty} \frac{e^{it}}{1 + t^2} \mathrm{d}t \right) [/mm] = [mm] \dots$ [/mm] |
Hallo Matheraumler! 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Diese "Aufgabe" entspricht einem Beispiel in unserem Vorlesungsanschrieb zum Thema "Anwendung des Residuensatzes". Mein Verständnisproblem betrifft nicht den Residuensatz bzw. dessen Anwendung direkt, sondern lediglich die Umformung im obigen Ausschnitt.
Ich verstehe einfach nicht, wie man von der ersten auf die zweite Zeile kommt bzw. wie genau mir die Aussagen unter den Klammern für die Umformung genau helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Di 05.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wozu man dazu die erste Zeile braucht weiss ich nicht,
aber wenn du direkt [mm] e^{it}=cost+i*sint [/mm] hast ist [mm] Re(e^{it})=cost.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Di 05.01.2010 | | Autor: | dawu |
| Aufgabe | | Z.z.: Für $a > 0$ gilt [mm] $\int_0^\infty \frac{\cos t}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2a} e^{-a}$. [/mm] |
Vielen Dank für die Antwort leduart!
Leider weiß ich nicht genau, wie mich deine Antwort weiterbringt bzw. ich verstehe nicht so ganz, wie dadurch von der ersten auf die zweite Zeile komme.
Um das Problem noch etwas zu präzisieren, habe ich oben mal eine ähnliches Beispiel (aus Funktionentheorie 1 von Freitag/Busam) angegeben. Im Buch beginnt die Argumentation wie folgt:
Es ist offensichtlich
[mm] $\int_0^\infty \frac{\cos t}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \mathrm{Re}\left( \int_\infty^{-\infty} \frac{\exp(\mathrm{i} t)}{t^2 + a^2} \right) \dots$
[/mm]
Leider ist für mich dieser Schritt im Moment einfach nicht offensichtlich... :-( Ich gehe mal davon aus, dass es analog zur Aufgabe in meinem vorherigen Post funktioniert. Der Rest der Aufgabe ist dann relativ klar.
Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen.
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Hallo dawu,
> Z.z.: Für [mm]a > 0[/mm] gilt [mm]\int_0^\infty \frac{\cos t}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t = \frac{\pi}{2a} e^{-a}[/mm].
>
> Vielen Dank für die Antwort leduart!
>
> Leider weiß ich nicht genau, wie mich deine Antwort
> weiterbringt bzw. ich verstehe nicht so ganz, wie dadurch
> von der ersten auf die zweite Zeile komme.
>
> Um das Problem noch etwas zu präzisieren, habe ich oben
> mal eine ähnliches Beispiel (aus Funktionentheorie 1 von
> Freitag/Busam) angegeben. Im Buch beginnt die Argumentation
> wie folgt:
>
> Es ist offensichtlich
>
> [mm]\int_0^\infty \frac{\cos t}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \mathrm{Re}\left( \int_\infty^{-\infty} \frac{\exp(\mathrm{i} t)}{t^2 + a^2} \right) \dots[/mm]
>
> Leider ist für mich dieser Schritt im Moment einfach nicht
> offensichtlich... :-( Ich gehe mal davon aus, dass es
> analog zur Aufgabe in meinem vorherigen Post funktioniert.
Ja!
Zunächst ist doch der Integrand eine gerade Funktion, also [mm] $\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{\cos(t)}{t^2+a^2} \ dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\frac{\cos(t)}{t^2+a^2} \ dt}$
[/mm]
Dann analog zu oben, es ist [mm] $\exp(it)=\cos(t)+i\sin(t)$, [/mm] also [mm] $\operatorname{Re}(\exp(it))=\cos(t)$ [/mm] ...
Und da du über ein reelles Intervall (bzw. über [mm] $\IR$) [/mm] integrierst, kannst du "Re" rausziehen, also [mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\operatorname{Re}(f(t)) \ dt}=\operatorname{Re}\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(t) \ dt}\right)$
[/mm]
> Der Rest der Aufgabe ist dann relativ klar.
>
> Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Di 05.01.2010 | | Autor: | dawu |
Vielen Dank für die Erklärung schachuzipus! Ist ja logisch, jetzt ist es mir auch klar!
Schönen Abend noch!
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