Unbekannten Punkt finden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Do 11.08.2005 | | Autor: | Redmond |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Freunde ich habe mal wieder ne schwieriege Aufgabe und komm einfach nicht auf die Lösung.
geg.: A(1/2/2) B(1/-2(z) C(7/-2/6) Flächeninhalt von ABC soll 15 sein
gesucht: z
Lösungsansatz: Ich kann den Flächeninhalt (F) nach der Formel: F= 0,5* [mm] \overrightarrow{AC}* \vec{h} [/mm] berechnen. (< nicht die Vektoren sondern deren Beträge) Die strecke AC ist dabei die Grundseite und h ist die Höhe die senkrecht auf AC steht und in B endet.
Den Vektorbetrag AC kann ich mir ausrechnen: [mm] \overrightarrow{AC}= \vektor{6 \\ -3 \\ 4}
[/mm]
Der Betrag davon ist: [mm] \wurzel{61}
[/mm]
^^ ja ich weis, die Schreibweise ist nicht ganz korrekt. Sorry!
So nun setze ich alles erstmal in die Formel für den Flächeninhalt ein und habe dann den Betrag von h errechnet:
Betrag von [mm] \vec{h}= \bruch{30}{\wurzel{61}}
[/mm]
Ich kenne also nun die 2 gegebenen Koordinaten aus dem Punkt B und den Abstand von B zur Strecke AC. Nur wie kriege ich jetzt die fehlende Koordinate (z) raus?? Ich hab schon einige probiert aber nix funktioniert. Ich glaube mein Lösungsansatz ist falsch.
Hinweis: Das ganze sollte ohne die Verwendung von Ebenen zu lösen sein, denn die kommen in dem Lehrbuch erst im nächsten Kapitel.
Bitte helft mir.
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Hallo Redmond!
Zunächst mal: Ich komme beim Vektor $ [mm] \overrightarrow{AC}$ [/mm] auf: $ [mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{6\\-4\\4}$ [/mm] und damit auf $| [mm] \overrightarrow{AC}|=\sqrt{68}$. [/mm] Entsprechend ändert sich auch der Wert von [mm] $|\overrightarrow [/mm] h|$. Aber ansonsten bist du eigentlich schon auf dem richtigen Weg!
Was du brauchst, um $z$ zu errechnen, ist in erster Linie [mm] $\overrightarrow [/mm] h$. Die besondere Eigenschaft von [mm] $\overrightarrow [/mm] h$ ist, dass er senkrecht auf $ [mm] \overrightarrow{AC}$ [/mm] steht. Leider weiß ich nicht, in welcher Klasse du bist. Ich vermute aber, dass dir schon bekannt ist, dass das Skalarprodukt von [mm] $\overrightarrow [/mm] h$ mit $ [mm] \overrightarrow{AC}$ [/mm] dazu gleich $0$ sein muss.
Überlege dir zunächst mal, welche Vektoren denn senkrecht auf $ [mm] \overrightarrow{AC}$ [/mm] stehen. Bei genauerem hinsehen entdeckt man relativ schnell zwei linear unabhängige Vektoren, die diese Eigenschaft haben, nämlich [mm] $\vektor{0\\1\\1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{2\\0\\-3}$. [/mm] Man könnte auch jede Linearkombination dieser beiden nehmen, auch diese stehen alle senkrecht auf $ [mm] \overrightarrow{AC}$. [/mm] Insbesondere muss eine dieser Linearkombinationen [mm] $\overrigtharrow [/mm] h$ sein.
An einem gewissen Punkt $P$ müssen die Geraden [mm] $\overline{AC}$ [/mm] und [mm] $\overline{BP}$ [/mm] (auch das jetzt etwas schwammig ausgedrückt  ) sich schneiden. Es gilt also:
[mm] $B+\lambda \vektor{0\\1\\1}+\mu\vektor{2\\0\\3}=A+\nu [/mm] C$.
Wenn du dieses Gleichungssystem löst, bekommst du spezielle (von $z$ abhängige) Werte für [mm] $\lambda,\mu,\nu$. [/mm] Diese geben dir zum einen den von $z$ abhängigen Punkt $P$, zum anderen den von $z$ abhängigen Vektor [mm] $\overrightarrow{h}=\overrightarrow{BP}$. [/mm] Die Länge von [mm] $\overrightarrow{h}$ [/mm] muss jetzt zu der errechneten Länge passen, wie du sie ja auch schon mal berechnet hast...
Hilft dir dieser Ansatz weiter? Sonst gebe ich dir gerne noch einen Tipp...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 11.08.2005 | | Autor: | Redmond |
Ups! Ich hab nen kleinen Tippfehler im Punkt A
Gegeben ist : A (1/1/2) deswegen der Rechenfehler oben.
Ich hatte schon die folgende Überlegung [mm] \overrightarrow{AB} \* \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = 0
Das bedeutet, wenn man es ein bisschen umstellt (z.B. nach y) dass alle Vektoren senkrecht zu AC sind für die folgendes gilt: [mm] \vektor{x \\ 2x \* \bruch{4}{3}z \\ z}
[/mm]
Sicher kann ich mir daraus auch 2 Vektoren raussuchen, dann hätte ich den selben Ansatz, wie Du. Leider weiss ich mit deiner letzten Formel (also mit dem: A+vC ) nichts anzufangen. :(
Zu meiner Vorbildung: ich hatte das alles schon mal im Abitur gelernt, ich muss das nun alles wiederholen um eine externe Prüfung abzulegen. Also im Prinzip weiss ich schon alles :D
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Hallo!
> Ups! Ich hab nen kleinen Tippfehler im Punkt A
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> Gegeben ist : A (1/1/2) deswegen der Rechenfehler oben.
>
> Ich hatte schon die folgende Überlegung
> [mm]\overrightarrow{AB} \* \vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = 0
>
> Das bedeutet, wenn man es ein bisschen umstellt (z.B. nach
> y) dass alle Vektoren senkrecht zu AC sind für die
> folgendes gilt: [mm]\vektor{x \\ 2x \* \bruch{4}{3}z \\ z}[/mm]
>
> Sicher kann ich mir daraus auch 2 Vektoren raussuchen, dann
> hätte ich den selben Ansatz, wie Du. Leider weiss ich mit
> deiner letzten Formel (also mit dem: A+vC ) nichts
> anzufangen. :(
Also ich probier's mal mit ner Erklärung:
> An einem gewissen Punkt $P$ müssen die Geraden [mm] $\overline{AC}$ [/mm] und [mm] $\overline{BP}$ [/mm] (auch das jetzt etwas schwammig > ausgedrückt ) sich schneiden. Es gilt also:
> [mm] $B+\lambda \vektor{0\\1\\1}+\mu\vektor{2\\0\\3}=A+\nu [/mm] C$.
Diese Formel sagt genau das aus, was Banachella vorher geschrieben hat, nämlich dass sich die beiden Geraden, also eigentlich sind es ja bei uns nur Strecken, nämlich die Seiten des Dreiecks, schneiden. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann setzt man sie immer gleich und löst dann dieses Gleichungssystem.
Auf der linken Seite steht also die Gerade, die durch den Punkt B gehen soll und die unsere gesuchte Höhe ist.
Dass die Gerade durch den Punkt B geht, siehst du sicher auch, und der Teil danach mit dem [mm] \lambda [/mm] und dem [mm] \mu [/mm] den hat Banachella etwas vorher erklärt, nämlich dass eine Linearkombination dieser beiden die Höhe sein muss. Also haben wir links eine Geradengleichung, in der unsere Höhe drin steckt (also die Höhe ist dann eine Strecke auf dieser Geraden).
Auf der rechten Seite haben wir einfach eine Gerade in der die Strecke [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] liegt. Geradengleichungen kennst du doch sicher noch, oder? Ansonsten solltest du da vllt mal ein bisschen nachlesen.
> Wenn du dieses Gleichungssystem löst, bekommst du spezielle (von $z$ abhängige) Werte für [mm] $\lambda,\mu,\nu$. [/mm] Diese geben dir zum einen den von $z$ abhängigen Punkt $P$, zum anderen den von $z$ abhängigen Vektor [mm] $\overrightarrow{h}=\overrightarrow{BP}$. [/mm] Die Länge von [mm] $\overrightarrow{h}$ [/mm] muss jetzt zu der errechneten Länge passen, wie du sie ja auch schon mal berechnet hast...
Schaffst du den Rest dann alleine?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Do 11.08.2005 | | Autor: | Redmond |
Jetzt hab ich das verstanden. Aber letztendlich, ist das nun durch eine Ebene gelöst, da der linke Teil der Gleichung ja praktisch eine Ebenengleichung ist. So macht das auch Sinn, denn man bestimmt dann den Schnittpunkt der Ebene, die senkrecht zu g ist und g. Wenn man aber nun diese Werte einsetzt und das z bestimmen will, kommt man auf "Nicht-Lehrbuch-Typische" Rechenwerte. Wer das man nachvollzieht, sieht dann auch wie kompliziert es ist, letztlich das z rauszufinden.
Eigentlich sollte es ja auch ohne Ebenengleichungen gehen, das das Lehrbuch die noch nicht behandelt hat.
Nun ist mir noch ein zweiter Lösungsansatz eingefallen: Die Vektoren AC und AB spannen ja ein Parallelogramm auf. Dessen halber Flächeninhalt ist der gesuchte Flächeninhalt. Für die Fläche (F) des Paralellogramms gilt dann:
F = 30 = [mm] \wurzel{ \overrightarrow{AB} ^{2}*\overrightarrow{AC} ^{2} -(\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC})^{2}}
[/mm]
wenn man das zum umstellt kommt man auf die quadatische Gleichung:
[mm] 0=45z^{2}-252z-108
[/mm]
Jetzt sieht man schon, dass die Lösung wieder nicht so ganz Zwölfte-Klasse-Niveau ist. Der Taschenrechner bringt dafür jetzt 2 Lösungen: [mm] z_{1}=6 [/mm] und [mm] z_{2}=-0,4
[/mm]
Welcher dieser Werte ist nun richtig? Und warum bringen diese beiden z-Werte nicht die gewünschte Länge, wenn man sie in Variante 1 einsetzt?
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Hi, hattet ihr das Kreuzprodukt schon? damit kommst du sehr schnell auf das Ergebnis. Es gilt
A = 1/2*|a X b| mit a = CA und b= CB.
MfG
Sven
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