Unbestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 So 31.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=\bruch{3x+2}{x^{2}+2x+2} [/mm] |
Hallo,
ich möchte für die obige Funktion das unbestimmte Integral finden. Ich komme aber schon ab dem ersten Schritt nimma weiter :-(
Also ich komme soweit:
[mm] \integral \bruch{3x+2}{x^{2}+2x+2} [/mm] dx = ???
Was muss ich dann machen???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo piriyaie,
> [mm]f(x)=\bruch{3x+2}{x^{2}+2x+2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich möchte für die obige Funktion das unbestimmte
> Integral finden. Ich komme aber schon ab dem ersten Schritt
> nimma weiter :-(
>
> Also ich komme soweit:
>
> [mm]\integral \bruch{3x+2}{x^{2}+2x+2}[/mm] dx = ???
>
> Was muss ich dann machen???
>
Zerlege den Zähler des Integranden zunächst so:
[mm]3x+2=\alpha*\left(x^{2}+2x+2\right)'+r\left(x\right)[/mm]
,wobei [mm]\alpha[/mm] so zu wählen ist,
daß [mm]r\left(x\right)[/mm] eine Konstante ist.
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 31.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Boah tut mir leid... aber das verstehe ich nicht :-(
Also ich muss das ganze irgendwie erweitern... oder? Sodass der Zähler die Ableitung vom Nenner ist. Oder?
Aber wie mache ich das genau???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 So 31.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ali!
Es gilt:
[mm]\bruch{3x+2}{x^2+2x+2} \ = \ \bruch{3x+3-1}{x^2+2x+2} \ = \ \bruch{3x+3}{x^2+2x+2}-\bruch{1}{x^2+2x+2} \ = \ \bruch{3}{2}*\bruch{2x+2}{x^2+2x+2}-\bruch{1}{x^2+2x+1+1}[/mm]
Beim vorderen Bruch hast du nun im Zähler exakt die Ableitung des Nenners.
Beim hinteren Bruch im Nenner eine binomsiche Formel auf teile des Nenners anwenden. anschließend sollte einem eine bekannte Stammfunktion mit [mm]\arctan(...)[/mm] einfallen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 31.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Wie kommst du beim letzten Schritt auf dieses hier:
[mm] \bruch{3}{2}\cdot{}\bruch{2x+2}{x^2+2x+2}
[/mm]
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 31.03.2013 | | Autor: | abakus |
> Wie kommst du beim letzten Schritt auf dieses hier:
>
> [mm]\bruch{3}{2}\cdot{}\bruch{2x+2}{x^2+2x+2}[/mm]
Hallo,
Ziel der Übung ist es, im Zähler die Ableitung des Nenners zu erhalten (also 2x+2)
Deshalb hat man aus dem bisherigen Zähler 3x+3 den Faktor [mm]\frac32[/mm] ausgeklammert:
[mm]3x+3=\frac32*(2x+2)[/mm] .
Gruß Abakus
>
> ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 31.03.2013 | | Autor: | piriyaie |
Also soweit komme ich jetzt:
[mm] \integral \bruch{3x+2}{x^{2}+2x+2} [/mm] dx = [mm] \integral \bruch{3x+3-1}{x^{2}+2x+2} [/mm] dx = [mm] \integral \bruch{3x+3}{x^{2}+2x+2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^{2}+2x+2} [/mm] dx = [mm] \bruch{3}{2}*\integral \bruch{2x+2}{x^{2}+2x+2} [/mm] dx - [mm] \integral \bruch{1}{x^{2}+2x+2} [/mm] dx = [mm] \bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2| [/mm] - ????
Also irgendwas mit arctan(???) müsste jezt doch noch dastehen... aber was genau??? wie komme ich da drauf??
Grüße
Ali
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Hallo piriyaie,
> Also soweit komme ich jetzt:
>
> [mm]\integral \bruch{3x+2}{x^{2}+2x+2}[/mm] dx = [mm]\integral \bruch{3x+3-1}{x^{2}+2x+2}[/mm]
> dx = [mm]\integral \bruch{3x+3}{x^{2}+2x+2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{x^{2}+2x+2}[/mm] dx = [mm]\bruch{3}{2}*\integral \bruch{2x+2}{x^{2}+2x+2}[/mm]
> dx - [mm]\integral \bruch{1}{x^{2}+2x+2}[/mm] dx = [mm]\bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2|[/mm]
> - ????
>
> Also irgendwas mit arctan(???) müsste jezt doch noch
> dastehen... aber was genau??? wie komme ich da drauf??
>
Schreibe den Integranden zunächst so:
[mm]\integral \bruch{1}{x^{2}+2x+2} \ dx=\integral \bruch{1}{\left(x+1\right)^{2}+1} \ dx[/mm]
Wende dann die Substitution [mm]x+1=\tan\left(z\right)[/mm] an.
> Grüße
> Ali
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mo 01.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Gestern hat mich Mathe nurnoch gnervt. Deswegen erst heute die Lösung.
Also hier mein Lösungsvorschlag:
... [mm] \bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2| [/mm] - [mm] \integral \bruch{1}{x^{2}+2x+2} [/mm] dx = [mm] \bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2| [/mm] - [mm] \integral \bruch{1}{(x+1)^{2}+1} [/mm] dx = [mm] \bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2| [/mm] - [mm] \integral \bruch{1}{t^{2}+1} [/mm] dx = [mm] \bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2| [/mm] - arctan(t) = [mm] \bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2| [/mm] - arctan(x+1)
Also ich habe so Substituiert:
(x+1)=t
Ist das richtig?????
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Mo 01.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gestern hat mich Mathe nurnoch gnervt. Deswegen erst heute
> die Lösung.
>
> Also hier mein Lösungsvorschlag:
>
> ... [mm]\bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2|[/mm] - [mm]\integral \bruch{1}{x^{2}+2x+2}[/mm]
> dx = [mm]\bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2|[/mm] - [mm]\integral \bruch{1}{(x+1)^{2}+1}[/mm]
> dx = [mm]\bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2|[/mm] - [mm]\integral \bruch{1}{t^{2}+1}[/mm]
> dx = [mm]\bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2|[/mm] - arctan(t) = [mm]\bruch{3}{2} ln|x^{2}+2x+2|[/mm]
> - arctan(x+1)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also ich habe so Substituiert:
>
> (x+1)=t
>
>
> Ist das richtig?????
Also ohne Deine Rechenschritte überprüft zu haben, das Ergebnis stimmt jedenfalls. Das kannst Du übrigens leicht selbst überprüfen mit wolframalpha.com
>
>
> Grüße
> Ali
Gruß,
notinX
P.S.: Ach ja, eine additive Integrationskonstante fehlt noch wenn man es genau nimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Mo 01.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ich Poste zum schluss hin meine Ergebnisse nurnoch zur Vervollständigung des Forums. :-D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Mo 01.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
ja... mit dieser additiven konstante war in meinem letzten forumbeitrag schon ewig die diskusion ob man die denn hinschreiben soll oder nicht. die einen sind der meinung man soll, die anderen sind anderer meinung. ich mache es so wie die meinung meines profs ist. werde ihn gleich am mittwoch fragen. und bis dahin lasse ich das + C aus "faulheit" einfach weg. :-D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Mo 01.04.2013 | | Autor: | notinX |
> ja... mit dieser additiven konstante war in meinem letzten
> forumbeitrag schon ewig die diskusion ob man die denn
> hinschreiben soll oder nicht. die einen sind der meinung
> man soll, die anderen sind anderer meinung. ich mache es so
> wie die meinung meines profs ist. werde ihn gleich am
> mittwoch fragen. und bis dahin lasse ich das + C aus
> "faulheit" einfach weg. :-D
Ja, ich habe die Diskussion verfolgt. Im Zweifel würde ich die Konstante aber immer hinschreiben, statt sie wegzulassen. Denn mit Konstante ist es ohne Zweifel mathematische 100% korrekt. Ob man sie nun immer mitschreiben sollte oder nicht darüber lässt sich streiten.
Also: Wenn Du sie einfach hinschreibst (so viel Aufwand ist das nicht) bist Du auf der sicheren Seite.
Gruß,
notinX
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