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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:45 So 26.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Seien [mm] $a,b,c\in \IN$. [/mm] Zeige, dass es keine Funktion [mm] $f:\IN\to\IN$ [/mm] gibt, für die
[mm] $f(x+y)+f(x)+f(y)=x\cdot y+a\cdot x+b\cdot [/mm] y+c$
für alle [mm] $x,y\in [/mm] N$ gilt.
Liebe Grüße und Viel Spaß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 So 26.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Huho!
Also das erste, was man sicherlich zu tun hat, ist folgendes:
Betrachtet man die linke und die rechte Seite der gestellten Bedingung, so stellt man fest, dass man x und y links, aber nicht rechts vertauschen kann. Daraus kann man schon einen Großteil der zu prüfenden Fälle ausschließen, nämlich diejenige mit [mm] $a\not= [/mm] b$. Es muss nämlich gelten:
[mm] $x\cdot y+a\cdot x+b\cdot y+c=x\cdot y+b\cdot x+a\cdot [/mm] y+c$
[mm] $\gdw (a-b)\cdot x=(a-b)\cdot [/mm] y$.
Nehmen wir an, dass [mm] $a\not= [/mm] b$ gilt, dann müsste immer $x=y$ gelten. Da die Gleichung aber für alle [mm] $x,y\in \IN$ [/mm] gelten muss, ist dies ein Widerspruch und eine solche Funktion kann nicht existieren. Damit müssen nur noch die Fälle mit $a=b$ geprüft werden, d.h. es muss gezeigt werden, dass es keine Funktion [mm] $f:\IN\to\IN$ [/mm] mit
[mm] $f(x+y)+f(x)+f(y)=x\cdot [/mm] y+a(x+y)+c$
für alle [mm] $x,y\in \IN$ [/mm] gibt.
Vielleicht weiß ja aber hier jemand weiter.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Vermutlich habe ich mich verrechnet, denn die Aufgabe kommt mir für eine IMO-Auswahlaufgabe viel zu einfach vor. Bitte zeige mir meinen Fehler.
Also, es gilt für alle $x [mm] \in \IN$:
[/mm]
$f(x+2) + f(x+1) + f(1) = x+1 + a(x+2) + c$,
$f(x+1) + f(x) + f(1) = x + a(x+1) + c$,
und daher:
(*) $f(x+2) - f(x) = a+1$.
Wir erhalten insbesondere:
(1) $f(4) - f(2) = a+1$
und daher
(2) $2f(2) = 2f(4) - 2a-2$.
Andererseits ist
(3) $f(4) + 2f(2) = 4 + 4a + c$.
Aus (1) und (3) folgt:
(4) $3f(2) = 3 + 3a + c$,
also:
(5) $c [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$.
[/mm]
Nun haben wir weiterhin:
(6) $f(6) - f(2) = f(6)-f(4) + f(4) - f(2) [mm] \stackrel{(\*)}{=} [/mm] 2a+2$,
und zusammen mit
(7)$f(6) + f(4) + f(2) = 8 + 6a + c$
folgt:
(8) $f(4) + 2f(2) [mm] \stackrel{(6),(7)}{=} [/mm] 6 + 4a + c$.
Setzt man nun hier (2) ein, so erhält man:
$3f(4) -2a-2 = 6 + 4a + c$,
also:
$3f(4) = 6a + 8 + c$,
im Widerspruch zu $c [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$.
[/mm]
Hähh? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Das war nun alles andere als elegant, irre simpel und trotzdem klappt es. Oder habe ich mich tatsächlich verrechnet oder einen Denkfehler ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") ?
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
Ich habe keinen Fehler in deiner LÖsung gefunden, sie scheint richtig zu sein.
Ich finde sie allerdings keinesfalls zu einfach. Ich frage mich des Weiteren, wie du darauf kommen konntest. Zwar konnte ich die Schritte nachvollziehen (man hätte sich die Modulo-Arbeit auch sparen können, siehe dazu unten), aber einen richtigen Denkansatz erkenne ich nicht - es sieht mehr wie fröhliches Versuchen aus (das soll nicht wertend gemeint sein) - ist dem so? Oder hast du wirklich ein genaues Ziel verfolgt?
Ich habe noch ein paar Anmerkungen:
> Aus (1) und (3) folgt:
> (4) $ 3f(2) = 3 + 3a + c $,
> (5) $ c [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3} [/mm] $.
Das benötigst du in meinen Augen nicht, denn aus
> (6) $ f(6) - f(2) = f(6)-f(4) + f(4) - f(2) [mm] \stackrel{(*)}{=} [/mm] 2a+2 $
folgt nach Addition von Gleichung
> (3) $ f(4) + 2f(2) = 4 + 4a + c $.
die Gleichung
$f(6)+f(4)+f(2)=6+6a+c$.
Da allerdings, wie du sagtest, nach Voraussetzung
> (7)$ f(6) + f(4) + f(2) = 8 + 6a + c $
gilt, folgt zusammen $2=0$ - Widerspruch.
Das wäre ein wenig kürzer. Was meinst du dazu?
Liebe Grüße,
Hanno
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![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]"){kind=small}
