Uneigentliche Integrale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie , für welche reellen Zahlen a das eventuell uneigentliche Integral [mm] \integral_{0}^{1}{x^a dx} [/mm] existiert und bestimmen Sie gegebenenfalls seinen Wert. |
Guten Abend zusammen,
hätte da mal eine Frage bezüglich dieser Aufgabe.
Ich habe mir Überlegt das für a < -1 gilt:
[mm] \integral_{0}^{1}{x^a dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^a} dx}.
[/mm]
Somit konvergiert das Integral und es gilt:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^a} dx}=\limes_{c\rightarrow 0}\integral_{c}^{1}{\bruch{1}{x^a} dx}=\limes_{c\rightarrow 0}\left[\bruch{1}{1-a} * \bruch{1}{x^{a-1}} \right] [/mm] in den Grenzen von b und 1 ............
Wäre das so richtig oder liege ich hier total daneben?
Danke im vorraus
MFG DAVE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Untersuchen Sie , für welche reellen Zahlen a das eventuell
> uneigentliche Integral [mm]\integral_{0}^{1}{x^a dx}[/mm] existiert
> und bestimmen Sie gegebenenfalls seinen Wert.
> Guten Abend zusammen,
> hätte da mal eine Frage bezüglich dieser Aufgabe.
>
> Ich habe mir Überlegt das für a < -1 gilt:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^a dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^a} dx}.[/mm]
Nein, das gilt nur für a=0, es gilt aber:
[mm] $\integral_{0}^{1}{x^a\, dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{-a}}\ dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{|a|}}\ dx}$
[/mm]
> Somit konvergiert das Integral und es gilt:
?!
Wie kommst Du darauf?
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{-a}} dx}=\limes_{c\rightarrow 0}\integral_{c}^{1}{\bruch{1}{x^{-a}} dx}[/mm]
Das gilt nur, wenn die Folge konvergiert. Und Du hast nirgends überprüft, ob sie das tut. Und im Nenner muß -a stehen. =)
Was ist mit a=-1 und a>-1?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 28.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
> Nein, das gilt nur für a=0, es gilt aber:
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^a\, dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{-a}}\ dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{|a|}}\ dx}[/mm]
>
Gilt das auch für a < 0 oder nur für a < -1 ?
>
> Was ist mit a=-1 und a>-1?
Also mit a = -1 hätte ich doch immer noch ein uneigentliches Integral?
Für a > 0 wäre klar nur was ist mit -1 < a < 0?
Irgendwie bin ich bei der Aufgabe ein bischen verwirrt.
Wäre sehr dankbar wenn du mir da nochmal helfen könntest.
MFG Dave
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 28.10.2007 | | Autor: | Blech |
> > Nein, das gilt nur für a=0, es gilt aber:
> > [mm]\integral_{0}^{1}{x^a\, dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{-a}}\ dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^{|a|}}\ dx}[/mm]
>
> >
>
> Gilt das auch für a < 0 oder nur für a < -1 ?
Für a<0. Du hattest nur das - im Exponenten unterschlagen. =)
>
> >
> > Was ist mit a=-1 und a>-1?
>
> Also mit a = -1 hätte ich doch immer noch ein
> uneigentliches Integral?
> Für a > 0 wäre klar nur was ist mit -1 < a < 0?
> Irgendwie bin ich bei der Aufgabe ein bischen verwirrt.
> Wäre sehr dankbar wenn du mir da nochmal helfen könntest.
Berechne mal ganz normal die Integrale
[mm] $I(c)=\integral_{c}^{1}{x^a\, dx}$, [/mm] für 0<c<1 und alle [mm] $a\in\IR$ [/mm] in Abhängigkeit von c.
Dafür mußt Du die Fallunterscheidung a<-1, a=-1 und a>-1 machen.
Das resultierende I(c) setzt Du in den limes ein (nur falls a<0; für [mm] $a\geq [/mm] 0$ kannst Du es natürlich machen, aber das Integral ist dann nicht uneigentlich) und schaust, ob der limes konvergiert oder divergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 28.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
> Berechne mal ganz normal die Integrale
> [mm]I(c)=\integral_{c}^{1}{x^a\, dx}[/mm], für 0<c<1 und alle
> [mm]a\in\IR[/mm] in Abhängigkeit von c.
> Dafür mußt Du die Fallunterscheidung a<-1, a=-1 und a>-1
> machen.
> Das resultierende I(c) setzt Du in den limes ein (nur
> falls a<0; für [mm]a\geq 0[/mm] kannst Du es natürlich machen, aber
> das Integral ist dann nicht uneigentlich) und schaust, ob
> der limes konvergiert oder divergiert.
>
Also Fall 1: a<-1
[mm] \integral_{c}^{1}{\bruch{1}{x^{|a|}}\ dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-|a|}*(1-c^{1-|a|})
[/mm]
[mm] \limes_{c\rightarrow\ 0} \bruch{1}{1-|a|}*(1-c^{1-|a|})= \bruch{1}{1-|a|}
[/mm]
Fall 2: a = -1
[mm] \integral_{c}^{1}{\bruch{1}{x}\ dx}=-lnc
[/mm]
[mm] -\limes_{c\rightarrow\ 0}lnc= \infty \Rightarrow [/mm] divergent
Ist das so richtig?
Und für den Fall : -1<a<0 weiss ich nicht genau wie mann das berechnen soll.Ist das nicht genauso wie beim Fall 1?Das Integral ja für a > 0 nicht mehr uneigentlich.
Habe da irgendwie ne Blockade.....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 28.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
hi loddar
> > Also Fall 1: a<-1
> >
> > [mm]\integral_{c}^{1}{\bruch{1}{x^{|a|}}\ dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-|a|}*(1-c^{1-|a|})[/mm]
>
> ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Wie kommst Du hierauf?
Hatte mir vorhin jemande gesagt da a in dem Fall a > 0 sein muss.
Aber dein Vorschlag hört sich verständlich an.
> [mm]\integral_c^1{x^a \ dx} \ = \ \left[ \ \bruch{1}{a+1}*x^{a+1} \ \right]_c^1 \ = \ \bruch{1}{a+1}*\left[ \ \bruch{1}{x^{-(a+1)}} \ \right]_c^1[/mm]
>
> Dabei ist [mm]-(a+1) \ > \ 0[/mm] ...
>
>
Also
\ [mm] \bruch{1}{a+1}*\left[ \ \bruch{1}{x^{-(a+1)}} \ \right]_c^1[/mm]=$ \bruch{1}{a+1}\cdot{}\left(1-\bruch{1}{c^{-(a+1)}}\right) [/mm] $
Aber nun kann ich doch c nicht gegen null laufen lassen da es nicht definiert ist ......
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dave!
> Aber nun kann ich doch c nicht gegen null laufen lassen da
> es nicht definiert ist ......
Was sagt uns das also über die Konvergenz bzw. Divergenz dieses Integrals?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 So 28.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
> Hallo Dave!
>
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> > Aber nun kann ich doch c nicht gegen null laufen lassen da
> > es nicht definiert ist ......
>
> Was sagt uns das also über die Konvergenz bzw. Divergenz
> dieses Integrals?
>
>
Ok klar, das Integral divigiert also auch für a<-1.....
Also existiert das Integral nur im Fall a > -1???? Aber in diesem Fall ist es ja
kein uneigentliches Integral ,also keine Existenz???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 So 28.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
> > Aber in diesem Fall ist es ja kein uneigentliches Integral
> ,also keine
> > Existenz???
>
> Aufpassen: in der Aufgabenstellung steht "... eventuelle
> uneigentliche Integrale ..."
>
>
Achso ,also existieren meine eventuelle uneigentliche Integrale für
a = 1 und a < -1 obwohl die beiden divergieren???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dave!
Das Integral [mm] $\integral_0^1{x^a \ dx}$ [/mm] konvergiert nur für $a \ > \ -1$ . Dabei handelt es sich aber streng genommen nur für $a \ [mm] \le [/mm] \ -1$ um uneigentliche Integrale.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 So 28.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
Achso , ja klar.......Jetzt ist mir alles klar. Ich glaube es ist einfach zu spät :)
Danke dir Loddar für deine Hilfe
MFG Dave
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Handelt es sich nich auch bei z.B. a=-0,5 um ein uneigentliches Integral?
Dabei geht der Graf für x->0 auch gegen [mm] \infty.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
Da hast Du Recht: uneigentliche Integrale entstehen für $a \ < \ 0$ .
Konvergenz liegt jedoch für $a \ > \ -1$ vor.
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
