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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mo 05.12.2005 | | Autor: | kunzm |
Hallo,
ich bitte mal wieder um Hilfe. Ich soll fogenden Zusammenhang beweisen:
[mm] \int_{\gamma_{R}'} \frac{1}{1+z^3}dz= -\exp( \frac{2 \pi i}{3})\int_{\gamma_{R}}
\frac{1}{1+z^3}dz[/mm]
wobei für die Wege gilt:
Es sei [mm]R \in \mathbb{R}[/mm], [mm]\gamma_{R}: V \rightarrow \mathbb{C}[/mm] der Weg [mm]t
\rightarrow t[/mm] von 0 nach R und [mm]\gamma'_{R}:I \rightarrow \mathbb{C}[/mm] der Weg [mm]t \rightarrow (1-t) R \exp( \frac{2 \pi i}{3})[/mm], wobei [mm]I=[0,1][/mm].
und anschließend damit das Integral
[mm]\int^{infty}_{0} \frac{1}{1+x^3} dx[/mm] berechnen.
Ich habe mir die Wege in der Gaußschen Zahlenebene aufgezeichnet und bekomme eine Art Kreisabschnitt bei dem der erste Weg auf der reellen Achse von 0 bis R läuft und der zweite auf einem Kreisbogen (positiver Imaginärteil) von R zurück in den Nullpunkt. Beide Wege zusammen geben also einen geschlossenen Weg ab. Soweit so gut.
Da die Integrale holomorpher Funktionen längs geschlossener Wege gemäß dem Cauchyschen Integralsatz Null sind wäre meine erste Idee gewesen die holomorphie von
[mm]\frac{1}{1+z^3}[/mm]
zu zeigen. Meine erste Frage ist, bringt mich das weiter, die zweite wie zeige ich das korrekt und die dritte wie kann ich das auf die Aufgabe übertragen(für den fall, dass der Ansatz stimmt)? Sehen kann ich die holomorphie ja eigentlich schon an der Zeichnung.
Danke euch, martin.
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Da fehlt wohl der Kreisbogen zwischen den beiden Strecken.
Es sei [mm]\omega = \operatorname{e}^{\frac{\pi \operatorname{i}}{3}}[/mm]. Der Integrationsweg [mm]\gamma_R[/mm] mit [mm]R>1[/mm] setzt sich dann aus den drei Wegen
[mm]\gamma_1[/mm]: gerichtete Strecke von [mm]0[/mm] bis [mm]R[/mm]
[mm]\gamma_2[/mm]: positiv gerichteter Kreisbogen um [mm]0[/mm] von [mm]R[/mm] bis [mm]R \omega^2[/mm]
[mm]\gamma_3[/mm]: gerichtete Strecke von [mm]R \omega^2[/mm] bis [mm]0[/mm]
zusammen:
[mm]\gamma_R = \gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Nullstellen von [mm]z^3+1[/mm] sind [mm]-1, \omega, \frac{1}{\omega}[/mm]. Der einzige Pol des Integranden im Innern des Integrationsweg ist daher [mm]z = \omega[/mm]. Er ist von der Ordnung 1:
[mm]\frac{1}{1 + z^3} = \frac{1}{z - \omega} \cdot \frac{1}{\left( z + 1 \right) \left( z - \frac{1}{\omega} \right)}[/mm]
mit Residuum
[mm]\operatorname{Res}_{z = \omega} \frac{1}{1 + z^3} \ = \ \frac{1}{\left( \omega + 1 \right) \left( \omega - \frac{1}{\omega} \right)} = \frac{\omega}{\omega^2 - \omega - 2} = - \frac{\omega}{3}[/mm]
Beachte für die Rechnung: [mm]\omega^3 = -1, \ \omega^6 = 1, \ \omega^2 - \omega = -1[/mm].
Jetzt berechne das Integral mit dem Residuensatz. Auf der anderen Seite kannst du die Wege folgendermaßen parametrisieren:
[mm]\gamma_1: \ \ z = t \, , \ \ t \in [0,R][/mm]
[mm]\gamma_2: \ \ z = R \operatorname{e}^{\operatorname{i} t} \, , \ \ t \in \left[ \, 0 \, , \, \frac{2 \pi}{3} \, \right][/mm]
[mm]\gamma_3: \ \ z = \omega^2 \, t \, , \ \ t \in [0,R][/mm] (plus Vorzeichenwechsel beim Integral)
Die Integrale über [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_3[/mm] kannst du nach Ausklammern zusammenfassen, das Integral über [mm]\gamma_2[/mm] verschwindet für [mm]R \to \infty[/mm].
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Di 06.12.2005 | | Autor: | kunzm |
nein, eigentlich fehlt da nichts, ich habe nochmal nachgeschaut.
Der Residuensatz ist auch erst Thema der Vorlesung am Donnerstag.
Das wäre dann sehr seltsam, aber auch nicht das erste mal...
Irgendwie muss es gehen, also, wenn Dir noch was einfällt...
Danke trotzdem, Martin
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Ich sehe nicht, wie das ohne den Residuensatz gehen könnte. Es tröstet dich vielleicht nicht, aber mit seiner Hilfe findet man
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{1}{1+x^3}~\mathrm{d}x \ = \ \frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Leopold hat Recht, man braucht hier den Residuensatz.
Aber löse doch wenigstens den ersten Teil der Aufgabe, dann bekommst du immerhin Teilpunkte:
[mm] $\int\limits_{\gamma_R'} \frac{1}{1+z^3}$
[/mm]
$=- [mm] \int\limits_0^1 \frac{1}{1+((1-t)R\omega^2)^3}R\omega^2\, [/mm] dt$
[mm] $=-\omega^2 \int\limits_0^1 \frac{R}{1+(1-t)^3R^3}\ [/mm] dt$
$= - [mm] \omega^2 \int\limits_0^1 \frac{R}{1+(tR)^3}\, [/mm] dt$
$= - [mm] \omega^2 \int\limits_{\gamma_R} \frac{1}{1+z^3}$
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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