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Forum "Integration" - Uneigentliches Integral
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Uneigentliches Integral: Wie berechnen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Do 30.08.2007
Autor: HorstMC

Aufgabe
Bestimmen sie alle Werte von a, für die das uneigentliche Integral

[mm] \integral_{1}^{\infty}{ (1+ax^2) / x^2 dx} [/mm]




endlich ist

Ich weiß nicht wie ich mit der Unendlichkeit rechen soll?
Das Ergebnis soll a=0 sein.

Die Stammfunktion ist -1/x + ax.

Soweit hab ich es schonmal..



        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Do 30.08.2007
Autor: Leopold_Gast

[mm]\int_1^{\infty}~\frac{1 + ax^2}{x^2}~\mathrm{d}x = \int_1^{\infty}~\left( \frac{1}{x^2} + a \right)~\mathrm{d}x[/mm]

Jetzt existiert aber das Integral [mm]\int_1^{\infty}~\frac{\mathrm{d}x}{x^2}[/mm], das Integral [mm]\int_1^{\infty}~a~\mathrm{d}x[/mm] aber so gut wie nie.

Bezug
                
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Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Do 30.08.2007
Autor: HorstMC

also muss man da generell nichts rechnen??

Bezug
                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Do 30.08.2007
Autor: rainerS

Hallo HorstMC,

> also muss man da generell nichts rechnen??

Genaugenommen musst du einen Grenzwert bestimmen, denn

[mm]\integral_1^\infty f(x)dx = \lim_{z\rightarrow\infty} \integral_1^z f(x)dx[/mm]

Wenn du, wie im vorliegenden Fall, die Stammfunktion [mm]F(x)=\integral f(x)dx[/mm] kennst, so musst du
[mm]\lim_{z\rightarrow\infty} F(z) -F(1)[/mm]
ausrechnen.
Jetzt frag dich selbst: wann existiert dieser Limes für die gegebene Funktion?

Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Uneigentliches Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Fr 31.08.2007
Autor: HorstMC

Also ich dachte mir das so:

Bei F(1) habe ich a-1 raus.

Ich nehme für z ein sehr Große Zahl und setze diese in die Stammfunktion ein!??
Dann komm ich aber, wenn ich a-1 abziehe nicht auf a=0 ???




Bezug
                                        
Bezug
Uneigentliches Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Fr 31.08.2007
Autor: angela.h.b.


> Also ich dachte mir das so:
>  
> Bei F(1) habe ich a-1 raus.


Du mußt ja jetzt [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}(-\bruch{1}{z^2}+az +\bruch{1}{1^2}- [/mm] a*1)= 1-a [mm] +\limes_{z\rightarrow\infty}(-\bruch{1}{z^2}+az) [/mm] berechnen.

Nun überlege Dir, was mit [mm] -\bruch{1}{z^2} [/mm] passiert, wenn z gegen [mm] \infty [/mm] läuft: es geht [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] gegen 0.
Also:

...=1-a [mm] +\limes_{z\rightarrow\infty}az. [/mm]


Dieser letzte zu bestimmende Grenzwert hängt von a ab.

Was ist, wenn a>0?
Was, wenn a<0?
Was, wenn a=0?

Hieran siehst Du dann, für welches a Dein uneigentliches Integral endlich ist.

Gruß v. Angela

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