Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne:
i) [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] * [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*e^{-\bruch{1}{2}*x^2}}
[/mm]
ii) [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] * [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^4*e^{-\bruch{1}{2}*x^2}} [/mm] |
Hallo!
Ich verzweifel an obiger Aufgabe.
Ich denke, dass ich partielle Integration anwenden muss mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] bzw. [mm] f(x)=x^4 [/mm] und [mm] g'(x)=e^{-\bruch{1}{2}*x^2}. [/mm] Muss ich auch noch Produktregel für e-Term anwenden?
[mm] e^{-\bruch{1}{2}*x^2} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Phillip
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> Berechne:
> i) [mm]\bruch{1}{2\pi}[/mm] * [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*e^{-\bruch{1}{2}*x^2}}[/mm]
>
> ii) [mm]\bruch{1}{2\pi}[/mm] * [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^4*e^{-\bruch{1}{2}*x^2}}[/mm]
> Hallo!
> Ich verzweifel an obiger Aufgabe.
> Ich denke, dass ich partielle Integration anwenden muss
> mit [mm]f(x)=x^2[/mm] bzw. [mm]f(x)=x^4[/mm] und [mm]g'(x)=e^{-\bruch{1}{2}*x^2}.[/mm]
> Muss ich auch noch Produktregel für e-Term anwenden?
>
> [mm]e^{-\bruch{1}{2}*x^2}[/mm] = [mm]e^{-\bruch{x^2}{2}}[/mm]
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe.
> Phillip
Tipp (einmal für das erste Integral):
partielle Integration mit folgender Zerlegung:
[mm] x^2*e^{-\bruch{1}{2}x^2}=x*\left(x*e^{-\bruch{1}{2}x^2}\right)
[/mm]
nun den ersten Faktor x ableiten und den zweiten [mm] x*e^{-\bruch{1}{2}x^2} [/mm] integrieren
So kommst du auf einen neuen Ausdruck, in welchem ein
"Gauss-Integral" vorkommt, für welches die Formel gilt:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}e^{-A*x^2 \dx}= \wurzel{\bruch{\pi}{A}}
[/mm]
hoffe, das hilft
LG Al-Chwarizmi
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> Tipp (einmal für das erste Integral):
>
> partielle Integration mit folgender Zerlegung:
>
> [mm]x^2*e^{-\bruch{1}{2}x^2}=x*\left(x*e^{-\bruch{1}{2}x^2}\right)[/mm]
>
> nun den ersten Faktor x ableiten und den zweiten
> [mm]x*e^{-\bruch{1}{2}x^2}[/mm] integrieren
>
> So kommst du auf einen neuen Ausdruck, in welchem ein
> "Gauss-Integral" vorkommt, für welches die Formel gilt:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty}e^{-A*x^2 \dx}= \wurzel{\bruch{\pi}{A}}[/mm]
>
>
> hoffe, das hilft
>
>
> LG Al-Chwarizmi
>
>
>
Hallo!
Danke erst einmal für Deine schnelle Hilfe.
Wenn ich x ableite, bekomme ich 1.
Wenn ich [mm] x*e^{-\bruch{x^2}{2}} [/mm] integriere bekomme ich [mm] -e^{-\bruch{x^2}{2}}.
[/mm]
Kann ich das Gauss-Integral dann trotzdem in gegebener Form verwenden?
Also [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-A*x^2}}=^?\integral_{-\infty}^{\infty}{-e^{-\bruch{1}{2}*x^2}}=\wurzel{\bruch{\pi}{0.5}} [/mm] oder [mm] -\wurzel{\bruch{\pi}{0.5}} [/mm] oder kommt dann etwas ganz anderes raus?
Und fürs zweite Integral:
Teile ich [mm] x^4*e^{-\bruch{1}{2}*x^2} [/mm] in [mm] x^3*(x*e^{-\bruch{1}{2}*x^2})?
[/mm]
[mm] f(x)=x^3, f'(x)=3x^2, [/mm] f''(x)=6x, f'''(x)=6
Muss ich den e-Term dann auch dementsprechend oft integrieren?
Vielen Dank!
Phillip
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> Hallo!
> Danke erst einmal für Deine schnelle Hilfe.
>
> Wenn ich x ableite, bekomme ich 1.
> Wenn ich [mm]x*e^{-\bruch{x^2}{2}}[/mm] integriere bekomme ich
> [mm]-e^{-\bruch{x^2}{2}}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das war ja aber erst die Vorbereitung zur partiellen Integration.
Es ergibt sich also:
[mm]\ \bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}x*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-x*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)[/mm]
[mm]\ =\bruch{1}{2*\pi}*( 0+ \integral_{-\infty}^{\infty}e^{-\bruch{x^2}{2}}\ dx) = \bruch{1}{2*\pi}*\wurzel{2*\pi}= \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}} [/mm]
> Kann ich das Gauss-Integral dann trotzdem in gegebener
> Form verwenden?
> Also
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-A*x^2}}=^?\integral_{-\infty}^{\infty}{-e^{-\bruch{1}{2}*x^2}}=\wurzel{\bruch{\pi}{0.5}}[/mm]
> oder [mm]-\wurzel{\bruch{\pi}{0.5}}[/mm] oder kommt dann etwas ganz
> anderes raus?
siehe oben: dort habe ich es schon angewendet
> Und fürs zweite Integral:
>
> Teile ich [mm]x^4*e^{-\bruch{1}{2}*x^2}[/mm] in
> [mm]x^3*(x*e^{-\bruch{1}{2}*x^2})?[/mm]
ich würde mal genau so beginnen, partielle Integration einmal
durchführen und dann das Ergebnis aus Aufgabe (i) verwenden !
LG al-Chw.
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> Es ergibt sich also:
>
> [mm]\ \bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}x*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-x*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)[/mm]
>
> [mm]\ =\bruch{1}{2*\pi}*( 0+ \integral_{-\infty}^{\infty}e^{-\bruch{x^2}{2}}\ dx) = \bruch{1}{2*\pi}*\wurzel{2*\pi}= \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}[/mm]
>
>
> > Und fürs zweite Integral:
> >
> > Teile ich [mm]x^4*e^{-\bruch{1}{2}*x^2}[/mm] in
> > [mm]x^3*(x*e^{-\bruch{1}{2}*x^2})?[/mm]
>
> ich würde mal genau so beginnen, partielle Integration
> einmal
> durchführen und dann das Ergebnis aus Aufgabe (i)
> verwenden !
>
Hallo!
[mm] \bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{x^3*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-x^3*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{3x^2-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*( [/mm] 0+ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}3x^2*e^{-\bruch{x^2}{2}}\ [/mm] dx)
[mm] =\bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{3x^2*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-3x^2*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{6x-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*( [/mm] 0+ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}6x*e^{-\bruch{x^2}{2}}\ [/mm] dx)
[mm] =\bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{6x*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-6x*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{6-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*( [/mm] 0+ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}6x*e^{-\bruch{x^2}{2}}\ [/mm] dx)
[mm] =\bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{6*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-6*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-\infty}^{\infty}e^{-\bruch{x^2}{2}}\ [/mm] dx)
= [mm] \bruch{1}{2*\pi}*\wurzel{2*\pi}= \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}
[/mm]
Stimmt das so??
Vielen Dank!
Phillip
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Hallo Phillip,
> > Es ergibt sich also:
> >
> > [mm]\ \bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}x*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-x*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)[/mm]
> >
> > [mm]\ =\bruch{1}{2*\pi}*( 0+ \integral_{-\infty}^{\infty}e^{-\bruch{x^2}{2}}\ dx) = \bruch{1}{2*\pi}*\wurzel{2*\pi}= \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}[/mm]
>
> >
> >
> > > Und fürs zweite Integral:
> > >
> > > Teile ich [mm]x^4*e^{-\bruch{1}{2}*x^2}[/mm] in
> > > [mm]x^3*(x*e^{-\bruch{1}{2}*x^2})?[/mm]
> >
> > ich würde mal genau so beginnen, partielle Integration
> > einmal
> > durchführen und dann das Ergebnis aus Aufgabe (i)
> > verwenden !
> >
>
> Hallo!
> [mm]\bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{x^3*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-x^3*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{3x^2-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)[/mm]
Ein Vorzeichenfehler.
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*([/mm] 0+
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}3x^2*e^{-\bruch{x^2}{2}}\[/mm] dx)
Bis hierhin ist es richtig.
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{3x^2*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-3x^2*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{6x-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*([/mm] 0+
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}6x*e^{-\bruch{x^2}{2}}\[/mm] dx)
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{6x*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-6x*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{6-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*([/mm] 0+
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}6x*e^{-\bruch{x^2}{2}}\[/mm] dx)
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{6*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-6*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*\integral_{-\infty}^{\infty}e^{-\bruch{x^2}{2}}\[/mm]
> dx)
> = [mm]\bruch{1}{2*\pi}*\wurzel{2*\pi}= \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}[/mm]
>
> Stimmt das so??
>
> Vielen Dank!
> Phillip
[mm]\bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{x^3*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-x^3*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} + \integral_{-\infty}^{\infty}{3x^2*e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)[/mm]
[mm]=0\big{|}_{-\infty}^{\infty} +\bruch{3}{2\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2*e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} [/mm]
[mm] $=\bruch{3*\wurzel{2\pi}}{2\pi}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{3}{\wurzel{2\pi}}$
[/mm]
, so ich mich nicht irre.
LG, Martinius
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Hi Martinius!
Danke für Deine Hilfe.
Ich dachte, dass ich die partielle Integration so oft anwenden muss, bis ich den Integralterm nicht weiter verändern kann. Also so wie ich es gemacht habe.
Darf man das gar nicht?
Und wenn man es darf: Wieso stimmen unsere Lösungen dann nicht überein?
Danke!
Phillip
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Hi Phillip,
ich habe eine Antwort geschrieben, sie aber an deine
vorherige Meldung angehängt. LG
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> > > fürs zweite Integral:
> [mm]\bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{x^3*(x*e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-x^3*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty}{3x^2-e^{-\bruch{x^2}{2}}\dx} \right)[/mm]
da fehlt im letzten Integral eine Klammer ! (Multiplikation statt Subtraktion!)
> [mm]=\bruch{1}{2*\pi}*([/mm] 0+ [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}3x^2*e^{-\bruch{x^2}{2}}\[/mm] dx)
das ist wieder richtig, und jetzt ist doch das verbleibende
Integral genau das aus der ersten Aufgabe, noch versehen
mit einem Faktor 3 !
Das heisst, wir brauchen überhaupt keine weitere partielle
Integration !
Was also hier noch folgt, ist überflüssiger und durch
Fehlermöglichkeiten bedrohter Luxus...
> [mm]\ =\bruch{1}{2*\pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{3x^2*([/mm]x[mm]\ *e^{-\bruch{x^2}{2}}) \ dx}=\bruch{1}{2*\pi}*\left(-3x^2*e^{-\bruch{x^2}{2}}\big{|}_{-\infty}^{\infty} - \integral_{-\infty}^{\infty} 6x-e^{-\bruch{x^2}{2}} dx \right)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") hier hast du schon einen zusätzlichen Faktor x reingeschmuggelt...
auch der neue Integrand ist falsch; er sollte lauten: [mm] -6x*e^{-\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
(ich breche hier ab...)
LG al-Chw.
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Ahhh! ok.
Also im Grunde käme schon das gleiche raus, wenn man keine Fehler machen würde. 
Danke für Deine/Eure Hilfe!
Phillip
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