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Hallo zusammen
Aufgabe:
Zeige, dass das uneigentliche Integral:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x} * sin(x) dx}
[/mm]
konvergiert und berechne dessen Wert.
Ich habe diese Aufgabe wie folgt gelöst:
(e : eulersche Zahl)
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x} * sin(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{0}^{a}{e^{-x} * sin(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} -e^{-x} [/mm] * sin(x) + [mm] e^{-x} [/mm] * [mm] -cos(x)\vmat{a\\0}
[/mm]
= [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} -e^{-a} [/mm] * sin(a) + [mm] e^{-a} [/mm] * -cos(a) + 1
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{\infty}{e^{-x} * sin(x) dx} [/mm] = 1
Ist das so richtig? Oder muss ich zuerst noch irgendwie zeigen, dass das uneigentliche Integral konvergiert?
Liebe Grüsse
Babybel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 22.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> Aufgabe:
> Zeige, dass das uneigentliche Integral:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x} * sin(x) dx}[/mm]
> konvergiert
> und berechne dessen Wert.
>
> Ich habe diese Aufgabe wie folgt gelöst:
> (e : eulersche Zahl)
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x} * sin(x) dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{0}^{a}{e^{-x} * sin(x) dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} -e^{-x}[/mm] * sin(x) + [mm]e^{-x}[/mm] *
> [mm]-cos(x)\vmat{a\\0}[/mm]
Das stimmt so nicht !
> = [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} -e^{-a}[/mm] * sin(a) + [mm]e^{-a}[/mm] *
> -cos(a) + 1
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{\infty}{e^{-x} * sin(x) dx}[/mm] =
> 1
>
> Ist das so richtig?
Nein
> Oder muss ich zuerst noch irgendwie
> zeigen, dass das uneigentliche Integral konvergiert?
Tipp:
1. Berechne mal in aller Ruhe eine Stammfunktion von [mm] $e^{-x}sin(x)$
[/mm]
2. Dann berechne [mm] \integral_{0}^{a}{ e^{-x}sin(x) dx}
[/mm]
3. Jetzt [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{0}^{a}{ e^{-x}sin(x) dx}
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüsse
> Babybel
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Hallo
Also nochmals:
Die Stammfunktion von [mm] e^{-x}*sin(x)
[/mm]
F(x) = - [mm] \bruch{1}{2}*e^{-x} [/mm] * (sin(x)+cos(x))
Dann:
[mm] \integral_{0}^{a}{ e^{-x}sin(x) dx} [/mm] = (- [mm] \bruch{1}{2}*e^{-a} [/mm] * (sin(a)+cos(x))) - [mm] (-\bruch{1}{2})
[/mm]
Dann:
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{0}^{a}{ e^{-x}sin(x) dx} [/mm] = 0 - [mm] (-\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ist es nun richtig?
Liebe Grüsse
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Hallo Babybel73,
> Hallo
>
> Also nochmals:
>
> Die Stammfunktion von [mm]e^{-x}*sin(x)[/mm]
> F(x) = - [mm]\bruch{1}{2}*e^{-x}[/mm] * (sin(x)+cos(x)) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann:
> [mm]\integral_{0}^{a}{ e^{-x}sin(x) dx}[/mm] = (- [mm]\bruch{1}{2}*e^{-a}[/mm] * [mm] (sin(a)+cos(\red{a}))) [/mm] - [mm](-\bruch{1}{2})[/mm]
kleiner Verschreiber
>
> Dann:
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{0}^{a}{ e^{-x}sin(x) dx}[/mm] = 0 - [mm](-\bruch{1}{2})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ist es nun richtig?
Jo!
>
> Liebe Grüsse
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo
Dann muss ich nicht noch speziell zeigen, ob das uneigentliche Integral konvergiert?
Liebe Grüsse
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Hallo nochmal,
> Hallo
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> Dann muss ich nicht noch speziell zeigen, ob das
> uneigentliche Integral konvergiert?
Na, das hast du doch getan.
Du hast den Grenzwert berechnet, damit ist es doch wohl konvergent ...
>
> Liebe Grüsse
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mo 22.02.2010 | | Autor: | Babybel73 |
Hallooo
Ja schon...aber ich habe gedacht vieleicht muss man es noch irgendwie speziell zeigen...! Da es so ausdrücklich steht.
Vielen Dank für die Hilfe!
LG
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