Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
In einer Vorlesungsstunde hat unser Professer folgendes uneigentliches Integral gelöst.
[mm] \integral_{0}^{1}{ln(x)dx} [/mm] mit ln(x)=(0,1] stetig [mm] \to \IR
[/mm]
Nach partieller Integration mit 1 erhält man als Stammfunktion:
x*ln(x)-x+C=F(x)
Danach haben wir die Integralgrenzen eingesetzt.
[mm] a_{n} [/mm] sei eine Nullfolge.
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] 1*ln(1)-1-(a_{n}*ln(a_{n})-a_{n})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}-a_{n}*ln(a_{n})-1)
[/mm]
= [mm] -1-\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}*ln(a_{n}))
[/mm]
So weit habe ich die Rechnung verstanden:
Nun muss man also [mm] a_{n}*ln(a_{n}) [/mm] untersuchen.
DIe Rechnung wurde folgendermaßen weitergeführt:
[mm] 0=\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}*ln(a_{n}))
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{ln(a_{n})-\infty}{\bruch{1}{a_{n}}-\infty})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{1}{a_{n}}}{-\bruch{1}{a_{n}}})
[/mm]
Regel von d' l Hospital anwenden
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0
[/mm]
Meine Fragen sind folgende:
Warum kann man hier voraussetzen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}*ln(a_{n})=0 [/mm] ist?
Ich habe vermutet,dadadurch dass [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist,somit gegen 0 läuft und dadurch [mm] ln(a_{n}) [/mm] wegfällt (quasi mit 0 multipliziert).
Nun zu [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{ln(a_{n})-\infty}{\bruch{1}{a_{n}}-\infty})
[/mm]
Hier habe ich mir überlegt, dass [mm] ln(a_{n}) [/mm] sehr große negative x-Werte annehmen muss. Denn damit [mm] e^{x}=a_{n} [/mm] gilt müsste x doch gegen [mm] -\infty [/mm] laufen,oder?
Im Nenner steht [mm] \bruch{1}{a_{n}}-\infty. [/mm] Da [mm] a_{n} [/mm] selst eine Nullfolge ist, wächst der Doppelbruch über alle Grenzen hinaus, läuft also gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Damit steht im Nenner [mm] \infty-\infty [/mm] und im Zähler [mm] -\infty-\infty.
[/mm]
Wenn beides mal [mm] \infty-\infty [/mm] stehen würde, könnte man ja auf [mm] \bruch{0}{0} [/mm] spekulieren.
Wie man darauf, dann auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{1}{a_{n}}}{-\bruch{1}{a_{n}}}) [/mm] kommt verstehe ich nicht ganz.
Ich würde mich über Anregungen und Antworten sehr freuen.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
>
> In einer Vorlesungsstunde hat unser Professer folgendes
> uneigentliches Integral gelöst.
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{ln(x)dx}[/mm] mit ln(x)=(0,1] stetig [mm]\to \IR[/mm]
>
> Nach partieller Integration mit 1 erhält man als
> Stammfunktion:
> x*ln(x)-x+C=F(x)
>
> Danach haben wir die Integralgrenzen eingesetzt.
> [mm]a_{n}[/mm] sei eine Nullfolge.
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]1*ln(1)-1-(a_{n}*ln(a_{n})-a_{n})[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}-a_{n}*ln(a_{n})-1)[/mm]
> = [mm]-1-\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}*ln(a_{n}))[/mm]
>
> So weit habe ich die Rechnung verstanden:
> Nun muss man also [mm]a_{n}*ln(a_{n})[/mm] untersuchen.
>
> DIe Rechnung wurde folgendermaßen weitergeführt:
> [mm]0=\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}*ln(a_{n}))[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{ln(a_{n})-\infty}{\bruch{1}{a_{n}}-\infty})[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{1}{a_{n}}}{-\bruch{1}{a_{n}}})[/mm]
> Regel von d' l Hospital anwenden
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0[/mm]
>
> Meine Fragen sind folgende:
> Warum kann man hier voraussetzen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}*ln(a_{n})=0[/mm] ist?
Das ist alles sehr merkwürdig !
Dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}*ln(a_{n})=0[/mm] ist, kann nicht vorausgesetzt werden, es soll erst gezeigt werden !
> Ich habe vermutet,dadadurch dass [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge
> ist,somit gegen 0 läuft und dadurch [mm]ln(a_{n})[/mm] wegfällt
> (quasi mit 0 multipliziert).
>
>
> Nun zu
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{ln(a_{n})-\infty}{\bruch{1}{a_{n}}-\infty})[/mm]
Wenn Dein Professor das so geschrieben hat, so ist das völliger Unfug. Frag ihn mal, was er von Beruf ist.
Es ist doch ganz simpel : zu untersuchen ist der GW [mm] $\limes_{x \rightarrow 0}x*ln(x)$
[/mm]
Das Produkt x*ln(x) wird umgeschrieben (wegen l'Hospital) : [mm] \bruch{ln(x)}{1/x}
[/mm]
Zähler und Nenner werden differenziert:
$ [mm] \bruch{1/x}{-1/x^2}= [/mm] -x$
Für x [mm] \to [/mm] 0 hat man dann mit l'Hospital: [mm] $\limes_{x \rightarrow 0}x*ln(x)=0$
[/mm]
FRED
>
> Hier habe ich mir überlegt, dass [mm]ln(a_{n})[/mm] sehr große
> negative x-Werte annehmen muss. Denn damit [mm]e^{x}=a_{n}[/mm] gilt
> müsste x doch gegen [mm]-\infty[/mm] laufen,oder?
>
> Im Nenner steht [mm]\bruch{1}{a_{n}}-\infty.[/mm] Da [mm]a_{n}[/mm] selst
> eine Nullfolge ist, wächst der Doppelbruch über alle
> Grenzen hinaus, läuft also gegen [mm]+\infty.[/mm]
> Damit steht im Nenner [mm]\infty-\infty[/mm] und im Zähler
> [mm]-\infty-\infty.[/mm]
> Wenn beides mal [mm]\infty-\infty[/mm] stehen würde, könnte man
> ja auf [mm]\bruch{0}{0}[/mm] spekulieren.
>
> Wie man darauf, dann auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{1}{a_{n}}}{-\bruch{1}{a_{n}}})[/mm]
> kommt verstehe ich nicht ganz.
>
> Ich würde mich über Anregungen und Antworten sehr
> freuen.
>
> Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Fred.
Danke vielmals für die Antwort.
So ist das ganze auch nachvollziehbar.
Liebe Grüße
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[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{ln(a_{n})\ \red{-\ \infty}}{\bruch{1}{a_{n}}\ \red{-\ \infty}}\right)[/mm]
> Wenn Dein Professor das so geschrieben hat, so ist das
> völliger Unfug. Frag ihn mal, was er von Beruf ist.
>
> Es ist doch ganz simpel : zu untersuchen ist der GW
> [mm]\limes_{x \rightarrow 0}x*ln(x)[/mm]
>
>
> Das Produkt x*ln(x) wird umgeschrieben (wegen
> l'Hospital) : [mm]\bruch{ln(x)}{1/x}[/mm]
>
> Zähler und Nenner werden differenziert:
>
> [mm]\bruch{1/x}{-1/x^2}= -x[/mm]
>
> Für x [mm]\to[/mm] 0 hat man dann mit l'Hospital: [mm]\limes_{x \rightarrow 0}x*ln(x)=0[/mm]
>
> FRED
Hallo Fred und Masseltof,
ich vermute sehr, dass der Prof da nicht wirklich Minuszeichen
gemeint hat, sondern dass er mittels Strichen (oder Pfeilen ?)
darauf hinweisen wollte, dass sowohl der Zähler als auch der
Nenner des Bruches gegen unendlich streben. Das ist dann der
Anlass, um zur Hospitalschen Regel zu greifen, deren Anwendung
aber im Term
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{\bruch{1}{a_{n}}}{-\bruch{1}{a_{n}}}\right) [/mm] $
bestimmt falsch protokolliert wurde (da fehlt ein Exponent 2).
Die Einführung einer Folge [mm] [/mm] zum Zweck der Grenzwert-
bildung ist allerdings überflüssig, verwirrend, ungeschickt und
am Ende falsch, da man ja dann ohnehin zwecks "Hospitalisierung"
Ableitungen braucht (und abgeleitet wird eben nicht eine
Zahlenfolge, sondern eine Funktion der reellen Variablen x).
LG Al-Chw.
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