Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mi 03.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-\infty}^{0} e^{x} [/mm] dx |
Hallo,
ich möchte obiges uneigentliche Integral lösen. Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] \integral_{-\infty}^{0} e^{x} [/mm] dx = [mm] \limes_{b\rightarrow-\infty} [e^{x}]^{0}_{b} [/mm] = [mm] \limes_{b\rightarrow-\infty} e^{0}-e^{b} [/mm] = 1 - 0 = 1
richtig??? Ist es auch formal korrekt?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
> [mm]\integral_{-\infty}^{0} e^{x}[/mm] dx
> Hallo,
>
> ich möchte obiges uneigentliche Integral lösen. Hier mein
> Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{0} e^{x}[/mm] dx = [mm]\limes_{b\rightarrow-\infty} [e^{x}]^{0}_{b}[/mm] = [mm]\limes_{b\rightarrow-\infty} e^{0}-e^{b}[/mm] = 1 - 0 = 1
>
> richtig??? Ist es auch formal korrekt?
Wenn man die Notation uneigentlicher Integrale ohne limes zulässt (was man üblicherweise tut), dann ist sowieso etwas fraglich, in welchem Maß man anderen Teilen der Rechnung hohen Formalismus abverlangt.
Trotzdem würde ich hier einmal Klammern spendieren und einen Schritt weglassen (oder an gleicher Stelle einen hinzufügen, s.u.).
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{e^x dx}=\lim_{b\to -\infty}\left[e^x\right]_{b}^{0}=\lim_{b\to -\infty}\blue{\left(}e^0-e^b\blue{\right)}=1
[/mm]
Man könnte, wie Du oben, den Zwischenschritt 1-0 einfügen, der aber auf der Anwendung eines Grenzwertsatzes beruht. Dann sollte davor der jetzt geklammerte Limes noch in zwei separate Grenzwerte aufgespalten werden (von denen der eine dann ja das b gar nicht mehr beinhaltet).
Grüße
reverend
PS: Da es hier bestimmt verschiedene Meinungen gibt, wirst Du sicher noch andere zu lesen bekommen. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mi 03.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. Danke.
Wie bearbeite ich nun uneigentliche Integrale, die reelle Grenzen haben???
Wie z.B. dieses integral:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] lnx dx
Behandele ich diese wie bestimme integrale? Also so:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] lnx dx = [x lnx [mm] -x]^{1}_{0} [/mm] = 1
?????
Oder muss ich hier was anderes machen?
Grüße
Ali
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Hallo nochmal,
irgendwie kann ich gerade nicht zitieren...
Da funzt irgendwas nicht.
Das gehst Du natürlich genauso an wie vorher. Schließlich ist [mm] \ln{{0}} [/mm] ja nicht definiert. Du brauchst also auch hier eine Grenzwertbetrachtung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mi 03.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. Neuer Lösungsvorschlag:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] ln x dx = [mm] \limes_{b \rightarrow 0}_{b>0} [/mm] [x lnx [mm] -x]^{1}_{0} [/mm] = -1 - [mm] (-\infty) [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Grenzwert existiert nicht somit existiert das Integral nicht.
Richtig????
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
nein, das stimmt nicht.
Woher stammt das [mm] $-\infty$?
[/mm]
Untersuche mal [mm] \lim_{b\to 0^+}x\ln{x}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 03.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Das ist doch 0 oder?
Aber es könnte auch sein, dass es [mm] -\infty [/mm] ist, weil ln(x) geht doch gegen [mm] -\infty [/mm] für immer kleinere x und etwas ganz kleines multipliziert mit [mm] -\infty [/mm] ist doch [mm] -\infty [/mm] oder????
Boah... ich kenn mich nicht mehr aus.... XD Das sind mal nur so meine Gedankengänge
Danke für deine Geduld!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Mi 03.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
AAAAAAAAAAlso... nächster Lösungsvorschlag:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] lnx dx = [mm] \limes_{b \rightarrow 0^{+}} [/mm] [x lnx [mm] -x]^{1}_{0} [/mm] = -1
Diesmal richtig???
Weil für 1 kommt ja -1 raus und wenn ich b gegen 0 laufen lasse wird ja der Außdruck vor dem lnx fast 0 und 0 mit etwas multipliziert ist ja 0 und dann ist der außdruck nach dem lnx auch fast null also 0 - 0 ist 0 und somit bleibt die -1 übrig.
diesmal richtig????
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Hallo,
das Ergebnis stimmt. Die Begründung aber nicht.
Du kommst um die schon von mir vorgeschlagene Grenzwertbetrachtung nicht herum.
Mach doch mal.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Mi 03.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ich hab genug für heut... sitze schon seit 6 in der früh.... erst Programmieren und dann Analysis... jetzt reichts! Ich löse das morgen und poste dann meine Grenzwertbetrachtung. Muss mir nochmal die Regel von l'Hospital anschaun... ist schon wieder lang her
Bis morgen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Sa 06.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hallo,
habs jetzt (bissl verspätet) nochmal probiert. Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] -\bruch{-ln(x)}{\bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] -\bruch{-\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x^{2}}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x}*\bruch{x^{2}}{1} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{x} [/mm] = x
Und wenn ich mir nun x gegen 0 laufen lasse, also [mm] \limes_{x \rightarrow 0} [/mm] x = 0
richtig?????
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
> habs jetzt (bissl verspätet) nochmal probiert. Hier mein
> Lösungsvorschlag:
>
> [mm]-\bruch{-ln(x)}{\bruch{1}{x}}[/mm] =
> [mm]-\bruch{-\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{x}*\bruch{x^{2}}{1}[/mm] = [mm]\bruch{x^{2}}{x}[/mm] = x
>
>
> Und wenn ich mir nun x gegen 0 laufen lasse, also [mm]\limes_{x \rightarrow 0}[/mm]
> x = 0
>
> richtig?????
Ja, alles richtig. Jetzt hast Du auch einen Grund für eine Aussage über den Grenzwert.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 So 07.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
supi. Danke! :-D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 So 07.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> AAAAAAAAAAlso... nächster Lösungsvorschlag:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] lnx dx = [mm]\limes_{b \rightarrow 0^{+}}[/mm] [x
> lnx [mm]-x]^{1}_{0}[/mm] = -1
>
> Diesmal richtig???
Nein.
Richtig ist
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] lnx dx = [mm]\limes_{b \rightarrow 0^{+}}[/mm] [x lnx [mm]-x]^{1}_{b}[/mm]
FRED
>
> Weil für 1 kommt ja -1 raus und wenn ich b gegen 0 laufen
> lasse wird ja der Außdruck vor dem lnx fast 0 und 0 mit
> etwas multipliziert ist ja 0 und dann ist der außdruck
> nach dem lnx auch fast null also 0 - 0 ist 0 und somit
> bleibt die -1 übrig.
>
> diesmal richtig????
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
Hab ich doch gar nicht. 
