Unendl. Reihe-Kreis/gl.Dreieck < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Sa 08.01.2005 | | Autor: | DonDon |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Folgende Aufgabenstellung:
In einem Kreis mit dem Radius r1 wir ein gleichseitiges Dreieck, in dieses gleichseitige Dreieck wieder ein Kreis usw. einbeschrieben?
Wie groß ist der Umfang/Fläche aller Kreise?
Ansatz und Lösungsversuch:
Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, handelt es sich bei den Kreisen immer um Inn- und Umkreis also:
Umkreis r2= [mm] \bruch{a}{3}*\wurzel{3}
[/mm]
Innkreis(bzw. Umkreis desnächsten Dreiecks) r3= [mm] \bruch{a}{6}*\wurzel{3}
[/mm]
wenn man die Kreise weiterverfolgt erkennt man eine Reihe unter dem Bruchstrich von:
3,6,12,24,48,96, etc. also immer die Hälfte vom vorangegangenen!
UKreis= [mm] \bruch{a}{3}*\wurzel{3}+\bruch{a}{6}*\wurzel{3}+\bruch{a}{12}*\wurzel{3}+.....
[/mm]
Jetzt meine Frage:
Der erste Teil dieser Reihe wird [mm] \bruch{a}{3}*\wurzel{3} [/mm] - der zweite Teil (ab [mm] \bruch{a}{6}*\wurzel{3}) [/mm] strebt doch Richtung " [mm] \infty" [/mm] und das unter dem Bruch --> also wird das ganze doch irgendwann Null werden, oder???
Kann man dann sagen, dass der Umfang = [mm] \bruch{a}{3}*\wurzel{3} [/mm] ist??
Wie heißt den die Reihe allgemein geschrieben - ich komm einfach nicht drauf? (Die Reihe, die sich unter dem Bruchstrich ergibt 3,6,12,24,48)
(Hat das nicht auch etwas mit dem Pascalschen Dreieck zu tun??)
Vielen Dank für Eure Mühen!
DonDon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen DonDon,
auch für Dich ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Auch wir freuen uns hier über eine (nette) Begrüßung  ...
> In einem Kreis mit dem Radius r1 wir ein gleichseitiges
> Dreieck, in dieses gleichseitige Dreieck wieder ein Kreis
> usw. einbeschrieben?
> Wie groß ist der Umfang/Fläche aller Kreise?
>
> Ansatz und Lösungsversuch:
>
> Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, handelt
> es sich bei den Kreisen immer um Inn- und Umkreis also: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Umkreis r2= [mm]\bruch{a}{3}*\wurzel{3}[/mm]
>
> Innkreis(bzw. Umkreis des nächsten Dreiecks)
> r3= [mm]\bruch{a}{6}*\wurzel{3}[/mm]
>
> wenn man die Kreise weiterverfolgt erkennt man eine Reihe
> unter dem Bruchstrich von:
> 3,6,12,24,48,96, etc.
> also immer die Hälfte vom vorangegangenen!
>
> UKreis=
> [mm]\bruch{a}{3}*\wurzel{3}+\bruch{a}{6}*\wurzel{3}+\bruch{a}{12}*\wurzel{3}+.....[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Umfang eines Kreises berechnet sich zu [mm] $U_{Kreis} [/mm] = [mm] 2*\pi*r$
[/mm]
Du meinst hier sicher die Summe der Radien aller Kreise:
[mm] $r_{ges} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} r_i$ ($r_{ges}$ [/mm] ist natürlich eine ideelle Größe.)
> Jetzt meine Frage:
> Der erste Teil dieser Reihe wird [mm]\bruch{a}{3}*\wurzel{3}[/mm] -
> der zweite Teil (ab [mm]\bruch{a}{6}*\wurzel{3})[/mm] strebt doch
> Richtung " [mm]\infty"[/mm] und das unter dem Bruch --> also wird
> das ganze doch irgendwann Null werden, oder???
siehe unten
> Kann man dann sagen, dass der Umfang = [mm]\bruch{a}{3}*\wurzel{3}[/mm] ist??
siehe unten
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Irgendwie scheinst Du mir einen Denkfehler in Deinen Überlegungen zu haben.
Du rechnest die ganze Zeit mit der Dreiecksseite a.
Gemäß Aufgabenstellung ist jedoch der Radius [mm] $r_1$ [/mm] des 1. Kreises gegeben.
Meines Erachtens müsstest Du also also alles von dieser Größe [mm] $r_1$ [/mm] abhängig machen.
Wie Du bereits festgestellt hast, gilt:
Der Innkreisradius [mm] $\rho_1$ [/mm] des 1. Dreiecks entspricht genau dem Umkreisradius [mm] $r_2$ [/mm] des nächsten (= 2.) Dreiecks usw.
Allgemein gilt also:
[mm] $r_{k+1} [/mm] = [mm] \rho_k [/mm] = [mm] 4*r_k [/mm] * [mm] sin(\bruch{\alpha}{2}) [/mm] * [mm] sin(\bruch{\beta}{2}) [/mm] * [mm] sin(\bruch{\gamma}{2}) [/mm] = [mm] 4*r_k [/mm] * [mm] (sin30°)^3 [/mm] = [mm] \bruch{r_k}{2}$
[/mm]
Das hast du ja auch bereits erhalten ...
Der Umfang [mm] $U_k$ [/mm] eines Kreises ist: [mm] $U_k [/mm] = [mm] 2*\pi*r_k$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Umfang aller Kreise:
[mm] $U_{ges} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} U_k$
[/mm]
$= [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 2*\pi*r_k$
[/mm]
$= [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{\infty}r_k$
[/mm]
$= [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] (r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] + [mm] r_3 [/mm] + [mm] r_4 [/mm] + ...)$
$= [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] (r_1 [/mm] + [mm] \underbrace{\bruch{r_1}{2}}_{= r_2} [/mm] + [mm] \underbrace{\bruch{r_1}{4}}_{= r_3} [/mm] + [mm] \underbrace{\bruch{r_1}{8}}_{= r_4} [/mm] + ...)$
$= [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] r_1 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + ...)$
$= [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] r_1 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2^0} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^3} [/mm] + ...)$
$= [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] r_1 [/mm] * [mm] [(\bruch{1}{2})^0 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^1 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^3 [/mm] + ...]$
Für den Wert innerhalb "[...]", ergibt sich bei einer Grenzwertbetrachtung der Wert 2 (siehe unten):
[mm] $U_{ges} [/mm] = [mm] 2*\pi [/mm] * [mm] r_1 [/mm] * 2 = 4 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r_1$
[/mm]
> Wie heißt den die Reihe allgemein geschrieben - ich komm
> einfach nicht drauf? (Die Reihe, die sich unter dem
> Bruchstrich ergibt 3,6,12,24,48)
Du möchtest also eine allgemeine Schreibweise für
[mm] $\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{12} [/mm] + [mm] \bruch{1}{24} [/mm] + ...$ ?
Zunächst [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] ausklammern:
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + ...)$
Hierbei handelt es sich um die Reihe folgender geometrischen Folge:
[mm] $a_n [/mm] = a * [mm] q^n [/mm] = 1 * [mm] (\bruch{1}{2})^n$
[/mm]
Die geometrische Reihe ist die Aufsummierung der ersten n Glieder:
[mm] $s_n [/mm] = a * [mm] \bruch{1 - q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
Für |q| < 1 existiert der Grenzwert für $n [mm] \to \infty$:
[/mm]
[mm] $s_{\infty} [/mm] = s = [mm] \bruch{a}{1-q} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{1}{2}} [/mm] = 2$
> (Hat das nicht auch etwas mit dem Pascalschen Dreieck zu tun??)
Mit dem Pascal'schen Dreieck kommen wir hier nicht weiter ...
So, nach dieser (doch sehr ausführlichen) Antwort kommst Du doch alleine weiter, oder ??
Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Sa 08.01.2005 | | Autor: | DonDon |
Hallo Loddar,
erstmal ganz herzlichen Dank für deine schnelle Antwort und das nette Willkommen!
Habe gerade deine sehr ausführlichen Lösungsvorschlag analysiert und nachgerechnet! Doch leider bin ich über zwei kleine Hürden nicht gekommen?!
1. $ [mm] r_{k+1} [/mm] = [mm] \rho_k [/mm] = [mm] 4\cdot{}r_k \cdot{} sin(\bruch{\alpha}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\beta}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\gamma}{2}) [/mm] = [mm] 4\cdot{}r_k \cdot{} (sin30°)^3 [/mm] = [mm] \bruch{r_k}{2} [/mm] $
1. Warum rechnest du mit solchen vielen Winkelmaßen bzw. [mm] \(sin30°)^3 [/mm] ?
Wegen der Genauigkeit?
Reicht es nicht, wenn ich rechne:
sin30° = [mm] \bruch{r_k+1}{rk}
[/mm]
= [mm] r_{k+1}= [/mm] 2rk ?!
2. Zweite Frage: Grenzwert???
Du hast ja herausbekommen, dass dies gilt:
...
$ = [mm] 2\cdot{}\pi \cdot{} r_1 \cdot{} [(\bruch{1}{2})^0 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^1 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^3 [/mm] + ...] $
wenn ich mir nur die [] - Klammer anschaue, dann steht dort doch allgemein:
[mm] (\bruch{1}{2})^{n} [/mm] oder - bin ich schon wieder falsch in der Annahme?
Und wenn ich n [mm] \to \infty [/mm] streben lassen würde käme - 0 heraus?!
Wie kommst du auf "2" -
Leider verwirrt mich die schreibweise:
$ [mm] s_n [/mm] = a [mm] \cdot{} \bruch{1 - q^{n+1}}{1-q} [/mm] $
wegen dem "a", welches ja in unserem Fall doch die [mm] (2*\pi*r_1) [/mm] sind und im anderen Fall sind es die Ausgeklammerten [mm] \bruch{1}{3} [/mm] !?
Also ich konkretisiere nochmal meine Frage:
warum schreibst du [mm] \bruch{1-... }{1-...} [/mm] ?
3. Gibt es irgendwelche Literatur, mit der man solche Beweisstrategien
Ansatzweise lernen und verstehen kann?!!
Dir nochmal vielen herzlichen DANK für alles und schönen Abend,
Grüße
DonDon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DonDon!
> 1. [mm]r_{k+1} = \rho_k = 4\cdot{}r_k \cdot{} sin(\bruch{\alpha}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\beta}{2}) \cdot{} sin(\bruch{\gamma}{2}) = 4\cdot{}r_k \cdot{} (sin30°)^3 = \bruch{r_k}{2}[/mm]
> 1. Warum rechnest du mit solchen vielen Winkelmaßen bzw.
> [mm]\(sin30°)^3[/mm] ?
> Wegen der Genauigkeit?
Ich muß gestehen: so genau bin ich in die Skizze nicht eingestiegen, um Deinen u.g. Zusammenhang zu sehen.
Ich habe einfach in 'ne Formelsammlung geschaut, und da steht für den Inkreisradius [mm] $\rho [/mm] = 4 * R * [mm] sin(\bruch{\alpha}{2}) [/mm] * [mm] sin(\bruch{\beta}{2}) [/mm] * [mm] sin(\bruch{\gamma}{2})$, [/mm] mit R = Umkreisradius.
Und da in einem gleichseitigen Dreieck alle 3 Winkel gleich sind [mm] ($\alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm] = 60°$), rechne ich in der Formel mit 30°.
> Reicht es nicht, wenn ich rechne:
> [mm]sin30° = \bruch{r_{k+1}}{r_k}[/mm] ?!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ich habe halt mit der o.g. Formel gerechnet.
Dein Weg ist natürlich eleganter ...
> 2. Zweite Frage: Grenzwert???
> Du hast ja herausbekommen, dass dies gilt:
> ...
> [mm]= 2\cdot{}\pi \cdot{} r_1 \cdot{} [(\bruch{1}{2})^0 + (\bruch{1}{2})^1 + (\bruch{1}{2})^2 + (\bruch{1}{2})^3 + ...][/mm]
> wenn ich mir nur die [] - Klammer anschaue, dann steht dort
> doch allgemein:
> [mm](\bruch{1}{2})^{n}[/mm] oder - bin ich schon wieder falsch
> in der Annahme?
Du "übersiehst" gerade die ganzen "+"-Zeichen innerhalb der Klammer.
Du mußt diese ganzen Glieder schließlich aufsummieren. Auch wenn diese irgendwann nahezu 0 werden, sind sie in der Summe nicht zu vernachlässigen.
> Und wenn ich n [mm]\to \infty[/mm] streben lassen würde käme - 0
> heraus?!
Für jedes einzelne Glied hast Du recht. Sonst: s.o.
> Wie kommst du auf "2" -
> Leider verwirrt mich die schreibweise:
> [mm]s_n = a \cdot{} \bruch{1 - q^{n+1}}{1-q}[/mm]
> wegen dem "a",
> welches ja in unserem Fall doch die [mm](2*\pi*r_1)[/mm] sind und im
> anderen Fall sind es die Ausgeklammerten [mm]\bruch{1}{3}[/mm] !?
> Also ich konkretisiere nochmal meine Frage:
> warum schreibst du [mm]\bruch{1-... }{1-...}[/mm] ?
In beiden Fällen betrachte ich jeweils die Ausdrücke innnerhalb der Klammer. D.h. die Faktoren [mm] "$2*\pi*r_1$" [/mm] bzw. [mm] "$\bruch{1}{3}$" [/mm] bleiben völlig außen vor, sprich: unberücksichtigt.
Eine geometrische Folge ist eine Folge [mm] $$ [/mm] mit folgender Eigenschaft:
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = q = const.$
(Unser) Beispiel:
[mm] $ [/mm] : [mm] \underbrace{1}_{= a_0}, \underbrace{\bruch{1}{2}}_{= a_1}, \underbrace{\bruch{1}{4}}_{= a_2}, \underbrace{\bruch{1}{8}}_{= a_3}, [/mm] ...$
Es gilt [mm] $a_n [/mm] = [mm] a_0 [/mm] * [mm] q^n$ [/mm] oder anders: [mm] $a_n [/mm] = a * [mm] q^n$
[/mm]
Unser Wert a ist also immer der Startwert unser geometrischen Folge (hier: a = 1).
Von der geometrischen Folge kommen wir dann zur geometrischen Reihe.
Mit dieser geometrischen Reihe wird eine neue Folge zur ursprünglichen Folge [mm] $$ [/mm] mit folgender Eigenschaft erzeugt:
[mm] $s_0 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] = a$ mit a = Startglied
[mm] $s_1 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1$
[/mm]
[mm] $s_2 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2$
[/mm]
usw.
Dafür gibt es eine allgemeine Formel (siehe auch oben):
[mm] $s_n [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] + ... + [mm] a_n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}a_n [/mm] = [mm] a*\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
Wir benötigen nun die Betrachtung von [mm] $$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Und wie oben bereits geschrieben, existiert dieser Grenzwert [mm] $s_{\infty}$ [/mm] für |q| < 1.
Das ist mit $q = [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] ja wohl gegeben 
Und dann gilt die o.g. Formel: [mm] $s_{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{a}{1-q}$.
[/mm]
Nun setze ich a = 1 bzw $q = [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] in diese Formel ein und erhalte: [mm] $s_{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] = 2$ ... und habe damit meine o.g. Behauptung!
> 3. Gibt es irgendwelche Literatur, mit der man solche
> Beweisstrategien
> Ansatzweise lernen und verstehen kann?!!
Da bin ich so spontan überfragt.
Aber dies' hat hier nichts mit einer speziellen "Beweisstrategie" zu tun ...
Ich hoffe, wir konnten nun alle Klarheiten beseitigen ...
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 So 09.01.2005 | | Autor: | DonDon |
Hallo Loddar und andere Interessierte,
dir erstmal noch mal vielen herzlichen Dank für deine Mühen! !!!
Meine Hirnverbindungen haben sich weiterentwickelt und ich bin durch die Aufgabe nun ohne Hürden gestiegen!
Habe hier noch eine interessante Internetseite zu "Folgen und Reihen" entdeckt!
http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Rekurs/index.htm
Nun hier meine Lösungen zu dieser Aufgabe:
[mm] U_{alle Kreise}=4 \pi*r_{1}
[/mm]
Auf den Flächeninhalt, der eben falls gefragt war, müsste man so draufkommen:
[mm] A_{allg}=\pi*r^{2}
[/mm]
Müsste dann nicht diese Formel gelten??
$ = [mm] \pi \cdot{} r_{1}^{2 }\cdot{} [(\bruch{1}{2})^0 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^1 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^3 [/mm] + ...]$
da wir von vorhin wissen, dass der Inhalt der [] - Klammer = "2" ist müsste gelten:
[mm] A_{alle Kreise}=\pi*r_{1}^2*(2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow A_{alle Kreise}=2*\pi*r_{1}^2*
[/mm]
Stimmt das?
Ich glaube jetzt haben wir die Aufgabe hinter uns - nochmal DANKE!
Grüße
DonDon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Mo 10.01.2005 | | Autor: | DonDon |
Guten Abend Loddar,
einfach genial, dass du auf das Potenzgesetz gekommen bist! Aber da muss man auch erstmal draufkommen - obwohl die Lösung doch so nahe lag - GELLE!
Also dir nochmal ganz recht herzlichen DANK!
Ich hoffe ich komme bei den nächsten Aufgaben selbst auf eine Lösung!
Reihen und Folgen habe ich mir nun angeschaut.
Das nächste Ziel wird sein, mir nochmal die wichtigsten Rechengesetz zu Gemüte zu ziehen!
Bis dahin mit dankenden Grüßen
Dondon
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]"){kind=small}
Potenzgesetz