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| Aufgabe | Konstruieren sie Folgen mit den folgenden Mengen von Häufungspunkten (insbesondere ist die Aussage über die Menge der Häufungspunkte zu beweisen!):
i) [mm] \IR
[/mm]
ii) [0, 1],
iii) [mm] \IN
[/mm]
iv) [mm] \emptyset [/mm] |
Hallo zusammen,
auf unserem neuen Zettel sollen Folgen konstruiert werden mit bestimmten Häufungspunkten, darunter eine, für die ganz [mm] \IR [/mm] die Menge der Häufungspunkte sein soll. Mir will da überhaupt keine Folge zu einfallen und jetzt bin ich auf den Gedanken gekommen, dass es möglicherweise gar keine gibt, weil [mm] \IR [/mm] überabzählbar unendlich ist. Stimmt das oder denke ich in die falsche Richtung?
Noch eine Frage zu zwei anderen der Folgen:
Für Folge ii) habe ich mir [mm] a_n [/mm] = sin(n) ausgedacht und für iv) [mm] a_n [/mm] = n. Sind die korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
> Konstruieren sie Folgen mit den folgenden Mengen von
> Häufungspunkten (insbesondere ist die Aussage über die
> Menge der Häufungspunkte zu beweisen!):
> i) [mm]\IR[/mm]
> ii) [0, 1],
> iii) [mm]\IN[/mm]
> iv) [mm]\emptyset[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> auf unserem neuen Zettel sollen Folgen konstruiert werden
> mit bestimmten Häufungspunkten, darunter eine, für die
> ganz [mm]\IR[/mm] die Menge der Häufungspunkte sein soll. Mir will
> da überhaupt keine Folge zu einfallen und jetzt bin ich
> auf den Gedanken gekommen, dass es möglicherweise gar
> keine gibt, weil [mm]\IR[/mm] überabzählbar unendlich ist. Stimmt
> das oder denke ich in die falsche Richtung?
Stimmt nicht und Du denkst in die falsche Richtung.
Tipp: Die rationalen Zahlen sind abzählbar und liegen dicht in [mm] $\IR\,.$
[/mm]
>
> Noch eine Frage zu zwei anderen der Folgen:
> Für Folge ii) habe ich mir [mm]a_n[/mm] = sin(n) ausgedacht und
> für iv) [mm]a_n[/mm] = n. Sind die korrekt?
Nein und ja. Die Folge [mm] $(\sin [/mm] n)$ hat auch negative Häufungswerte.
Gruß,
Wolfgang
PS: Bist Du sicher, daß es in der Aufgabe Häufungspunkte und nicht Häufungswerte heißt? Bei Folgen spricht man sonst von Häufungswerten und bei Mengen von Häufungspunkten.
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Danke Wolfgang!
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> Stimmt nicht und Du denkst in die falsche Richtung.
> Tipp: Die rationalen Zahlen sind abzählbar und liegen
> dicht in [mm]\IR\,.[/mm]
Schade. :)
Hättest du einen Tipp mit was für einer Funktion/Herangehensweise ich so eine geforderte Folge konstruieren könnte?
>
> Nein und ja. Die Folge [mm](\sin n)[/mm] hat auch negative
> Häufungswerte.
Dann sollte wohl [mm] a_n [/mm] = |sin(n)| funktionieren?
> PS: Bist Du sicher, daß es in der Aufgabe Häufungspunkte
> und nicht Häufungswerte heißt? Bei Folgen spricht man
> sonst von Häufungswerten und bei Mengen von
> Häufungspunkten.
Ja, es heißt wirklich "Häufungspunkte". Vielleicht wird das ja nachträglich noch verändert.
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Hallo,
> > Stimmt nicht und Du denkst in die falsche Richtung.
> > Tipp: Die rationalen Zahlen sind abzählbar und liegen
> > dicht in [mm]\IR\,.[/mm]
>
> Schade. :)
> Hättest du einen Tipp mit was für einer
> Funktion/Herangehensweise ich so eine geforderte Folge
> konstruieren könnte?
Kennst Du die "Zickzackzählung", mit der man nachweist, dass [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist? Die kannst Du hier nehmen. Sie ist allerdings schlecht zu notieren, aber der Hinweis wird auch so genügen.
> > Nein und ja. Die Folge [mm](\sin n)[/mm] hat auch negative
> > Häufungswerte.
>
> Dann sollte wohl [mm]a_n[/mm] = |sin(n)| funktionieren?
Ja, klar. Oder [mm] a_n=\bruch{1}{2}(1+\sin{(n)}).
[/mm]
Grüße
reverend
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Danke reverend!
> Kennst Du die "Zickzackzählung", mit der man nachweist,
> dass [mm]\IQ[/mm] abzählbar ist? Die kannst Du hier nehmen. Sie ist
> allerdings schlecht zu notieren, aber der Hinweis wird auch
> so genügen.
Ja, habe ich mal von gehört. Ich schaue mal ob ich mir daraus was basteln kann und melde mich dann wieder.
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