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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Di 12.06.2007 | | Autor: | chacho |
| Aufgabe | Es sei k [mm] \in \IN [/mm] eine feste Zahl. Man bestimme alle x [mm] \in \IR [/mm] und nur solche, für welche die folgende Reihe konvergiert:
s(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^{k}x^{n} [/mm] |
Ich kann mir unter dieser Reihe überhaupt nichts vorstellen. Deshalb bitte ich um Hilfe. Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wegen
[mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|n^k x^n|} = |x| [/mm]
hat Deine Reihe jedenfalls eine geometrische Reihe als Majorante, falls [mm]|x|< 1[/mm] ist. Ist aber [mm]|x|\geq 0[/mm], so divergiert die Reihe notwendigerweise, da ihre Glieder [mm]n^k x^k[/mm] noch nicht einmal eine Nullfolge bilden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mi 13.06.2007 | | Autor: | chacho |
Ja das hilft mir nicht wirklich weiter.
Wie lauten die x-Werte, gegen die die Reihe konvergiert und wie komme ich darauf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Zaed |
Somebody hat die Frage doch klar beantwortet, du kannst deine x doch nun direkt ablesen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Mi 13.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Hier bietet sich eigentlich das Quotientenkriterium an:
[mm] \bruch{(n+1)^{k}*x^{n+1}}{n^{k}*x^{n}}
[/mm]
[mm] =(\bruch{n+1}{n})^{k}*x<1
[/mm]
also:
[mm] x<(\bruch{n}{n+1})^{k}<\bruch{1}{e}
[/mm]
Also für alle |x|<1/e
Was für negative k passiert kannst du ja selbst noch herausfinden.
Gruß
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Mi 13.06.2007 | | Autor: | wauwau |
da der exponent k und nicht n ist, konvergiert das ganze nicht gegen [mm] e^{-1} [/mm] sonder gegen 1!!!
Aber vielleicht war ja die Frage nach dem Grenzwert ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mi 13.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Hast schon recht.
Sorry, war vorhin bisschen in Eile, als ich das geschrieben habe.
Grüße
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Somebody |
Nein, ich denke nicht, dass Du zu sehr "in Eile warst". Die Frage, so wie sie ursprünglich formuliert war, lautete, Zitat: "Man bestimme alle x und nur solche, für welche die folgende Reihe konvergiert". Gefragt war also *nicht* der Wert der Reihe: sondern *nur* der Bereich der x, für die die Reihe konvergiert...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Do 14.06.2007 | | Autor: | chacho |
Ich versteh meist nur Bahnhof!!
Der erste Schritt von somebody ist mir völlig unklar. Auch wie man die Bereiche für x daraus ablesen kann.
Das Quotientenkriterium versteh ich nur teilweise. Reicht das aus, um die komplette Frage zu beantworten?
Es wäre echt super, wenn mir das jemand so einfach wie möglich erklären könnte, mir sind da eindeutig zuviele unbekannte drin.
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> Ich versteh meist nur Bahnhof!!
> Der erste Schritt von somebody ist mir völlig unklar. Auch
> wie man die Bereiche für x daraus ablesen kann.
> Das Quotientenkriterium versteh ich nur teilweise. Reicht
> das aus, um die komplette Frage zu beantworten?
Ja. Aber das Quotientenkriterium ist zunächst einmal nur auf Reihen mit positiven Gliedern anwendbar. Macht nichts: betrachten wir einfach einmal die Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty |n^k x^n|[/mm] (für festes [mm]k\in\IN[/mm]). Um aus dem Quotientenkriterium auf Konvergenz dieser Reihe (deren Glieder die Beträge der Glieder Deiner Reihe sind) schliessen zu können, müssten wir ein [mm]q<1[/mm] angeben können, so dass ab einem gewissen Index [mm]n_0[/mm] für alle [mm]n\geq n_0[/mm] gilt:
[mm]\frac{|(n+1)^k x^{n+1}|}{|n^k x^n|}\leq q[/mm]
Aber gibt es ein solches [mm]q<1[/mm]?
Dazu muss Du wissen, dass gilt: [mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+1)^k}{n^k} = 1[/mm]. Deshalb ist
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{|(n+1)^k x^{n+1}|}{|n^k x^n|} = |x|[/mm]
Daraus folgt, dass, unter der Voraussetzung, dass [mm]|x|<1[/mm] ist, ein [mm]q<1[/mm] mit der (für den Nachweis der Konvergenz mittels Quotientenkriterium) gewünschten Eigenschaft existiert. Etwa [mm]q:=\frac{|x|+1}{2}[/mm].
Somit konvergiert also Deine Reihe (aufgrund des Quotientenkriteriums), falls [mm]|x|<1[/mm] ist.
Ist aber [mm]|x|\geq 1[/mm], so divergiert die Reihe notwendigerweise: weil eben schon deren Glieder [mm]n^kx^n[/mm] keine Nullfolge bilden.
> Es wäre echt super, wenn mir das jemand so einfach wie
> möglich erklären könnte, mir sind da eindeutig zuviele
> unbekannte drin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mi 13.06.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] s_k=\summe_{n=0}^{\infty}n^k*x^n
[/mm]
dann gilt folgende Rekursion
[mm] s_{k+1}= x*\bruch{d s_k}{dx} [/mm] = [mm]x*s'_k[/mm]
mit [mm] s_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
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