Unendlichkeitsverhalten < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 So 25.11.2007 | | Autor: | Karlchen |
Guten Morgen^^
also gegeben ist die Funktion [mm] f_{k}(x)=(x-k)*e^{-x}
[/mm]
mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich mit dem Term x-k umgehen muss, also für [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} [/mm] gegen was läuft denn dieser Term? muss ich das unterteilen für kleine und große k oder was?
Gruß Karlchen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 So 25.11.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo,
es ist ja klar, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x = [mm] \infty, [/mm] wenn du nun von etwas sehr Großem (Unendlich großem) etwas Endliches, also eine Zahl k,abziehst oder addierst, ändert sich nichts: Quasi [mm] "\infty [/mm] + k = [mm] \infty"
[/mm]
z.B. kannst du ruhigen Gewissens sagen [mm] 10^{99} [/mm] - 1 ist ungefähr [mm] 10^{99}, [/mm] die 1 fällt aufgrund des großen Unterschieds zwischen den beiden Zahlen nicht ins Gewicht, die Differenz ändert quasi nichts an dem Wert. Genauso musst du dir das bei Grenzprozessen vorstellen.
Also: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (x+k) = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (x*k) = [mm] \infty
[/mm]
falls k eine reele Zahl ist.
VG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 So 25.11.2007 | | Autor: | Karlchen |
hey!
also kann ich sagen x läuft gegen unendlich und k gegen k, was ja eigentlich uninteressant ist weil [mm] e^{-x} [/mm] gegen 0 läuft und somit auch der gesamte Term gegen 0 läuft, oder?
Gruß Karlchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 So 25.11.2007 | | Autor: | Fry |
Hi,
gerade das kannst du nicht sagen.
Es ist möglich das [mm] \infty [/mm] * 0 gleich 0 ist, aber auch [mm] \infty.
[/mm]
Das kommt ganz auf den Fall an.
Entweder machst du das jetzt mit dem Satz von L´Hospital (hattet ihr den schon ?) oder du argumentierst so:
[mm] (x-k)*e^{-x} [/mm] = [mm] \bruch{x-k}{e^{x}}
[/mm]
Die e-Funktion wächst viel schneller als jede Potenzfunktion (also x, x²,...)
und damit wird der Nenner viel viel größer als der Zähler, damit geht der gesamte Bruch für x -> [mm] \infty [/mm] gegen 0.
LG
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 25.11.2007 | | Autor: | Karlchen |
ne diesen Satz von L´Hospital hatten wir noch nicht...
aba ich denke, hab trotzdem verstanden, was du meinst. danke erst ma^^
wenn dann aba [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x-k}{e^{x}} [/mm] läuft doch dieser term gegen [mm] +\infty
[/mm]
und für [mm] \limes_{x\rightarrow\red-\infty} \bruch{x-k}{e^{x}} [/mm] gegen 0, oder?
hätte dann noch eine weitere Frage:
also es ist angegeben, dass [mm] f_{k}'(x)=-(x-k-1)*e^{-x} [/mm] ist.
wenn ich aber die Ableitung bilde, bekomme ich was anderes heraus:
[mm] f_{k}'(x)= 1*e^{-x}+(x-k)*(-1)*e^{-x}
[/mm]
[mm] =1*e^{-x}+(-x+k)*e^{-x}
[/mm]
[mm] =e^{-x}*(1-x+k)
[/mm]
was habe ich falsch gemacht?
Gruß Karlchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 So 25.11.2007 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
für x -> [mm] \infty [/mm] hatte Fry doch schon gesagt, dass der Nenner viel schneller wächst als der Zähler und es somit gegen Null läuft.
Nun musst du gucken, was im Nenner passiert, wenn x -> [mm] -\infty [/mm] läuft!
Versuch' es bei der Ableitung einfach mal mit der Quotientenregel und kürze dann.
Gruß Sierra
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 So 25.11.2007 | | Autor: | Karlchen |
hey Sierra!
danke für den tipp. Ich komm aber nicht auf das [mm] \red- [/mm] vor der Klammer.
meine Rechnung:
[mm] f'(x)=\bruch{1*e^{x}\red-(x-k)*e^{x}}{(e^{x})^{2}} [/mm] das - fällt doch im nächsten schritt, wenn ich zusammenfasse weg, oder nicht?
[mm] =\bruch{e^{x}*(x-k-1)}{e^{2x}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x-k-1)}{e^{x}} [/mm]
[mm] =(x-k-1)*e^{-x}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 So 25.11.2007 | | Autor: | Sierra |
Hallo!
im ersten Schritt kommst du doch auf:
f'(x)= [mm] \bruch{1\*e^{x}-e^{x}\*(x-k)}{(e^{x})^{2}}
[/mm]
nun kannst du doch kürzen:
= [mm] \bruch{1-(x-k)}{e^{x}}
[/mm]
das widerrum kannst du eben so schreiben, wie es schon bei dir vorgegeben war:
= [mm] \bruch{-(x-k-1)}{e^{x}}
[/mm]
Gruß Sierra
|
|
|
|
