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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Do 03.12.2009 | | Autor: | Julia_20 |
Hallo Leute hier ist wieder die Julia....
Ich habe wieder ein Problem, das ich alleine nicht schaffe :'(
Die böse Aufgabe ist wie folgt:
Sei p eine ungerade Primzahl. Nehmen Sie an, dass die Gleichung
[mm] x^2 [/mm] + 1 = 0
in [mm] \IZ/p\IZ [/mm] eine Lösung hat, und zeigen Sie dann, dass p − 1 durch 4 teilbar ist.
Hinweis: Ist G eine endliche Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe, so teilt |U| die Zahl |G|.
Ich finde überhaupt keinen Ansatz
Vielen Dank im voraus.....
LG Julia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Do 03.12.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
hier mal ein Gedanke, wie man das denke ich angehen könnte:
Betrachte als Gruppe G die multiplikative Gruppe von [mm] $\IZ/p\IZ$. [/mm] Welche Ordnung hat diese?
Sei nun $x$ die Lösung von [mm] $x^2 [/mm] + 1 = 0$ (oder anders geschrieben: [mm] $x^2 [/mm] = -1$). Dann betrachte die (zyklische) Untergruppe U von G, die durch $x$ erzeugt wird. Welche (und vor allem: wie viele) Elemente hat diese?
Und zum Abschluss noch die Preisfrage: warum muss p dabei ungerade sein?
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:57 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Julia_20 |
Hallo,
Danke für die Antwort, es hat mich vielleicht ein wenig weitergebracht.
Also wenn G die multiplikative Gruppe ist, definiere ich erstmal
G* := [mm] (\IZ/p\IZ) [/mm] = {1,2,....,p-1}.
|G*| = p-1.
Wenn ich die Untergruppe mit dem Untergruppenkriterium bestimme ist U = {1,-1,x,-x} Untergruppe von G*.
|U| = 4 (hat 4 Elemente) und |G*| = p-1.
Da p-1 eine gerade Zahl ist, ist |G*| teilbar mit 4.
Ist das so in etwa richtig? Ich weiß nicht genau wie ich den Beweis aufschreibe.
LG Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Sa 05.12.2009 | | Autor: | piet.t |
> Hallo,
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> Danke für die Antwort, es hat mich vielleicht ein wenig
> weitergebracht.
>
> Also wenn G die multiplikative Gruppe ist, definiere ich
> erstmal
> G* := [mm](\IZ/p\IZ)[/mm] = {1,2,....,p-1}.
> |G*| = p-1.
> Wenn ich die Untergruppe mit dem Untergruppenkriterium
> bestimme ist U = {1,-1,x,-x} Untergruppe von G*.
>
> |U| = 4 (hat 4 Elemente) und |G*| = p-1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") bis auf eine Kleinigkeit.
>
> Da p-1 eine gerade Zahl ist, ist |G*| teilbar mit 4.
An dieser Stelle brauchen wir nicht mehr, dass p-1 gerade ist. Wenn |U|=4 ist, dann ist p-1 durch 4 teilbar, da die Ordnung der Untergruppe die Gruppenordnung teilt.
>
Das einzige, was mir für den vollständigen Beweis noch fehlt ist die betrachtung des Falls "p ist gerade" (sprich p=2). Warum funktioniert die Argumentation in diesem Fall nicht, [mm] x^2+1=0 [/mm] ist doch auch in [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] lösbar?
Ansonsten passen Deine Überlegungen. Ich würde nur noch etwas genauer aufschreiben, wie du auf die 4 Elemente von U kommst (insbesondere warum -x in U sein muss) sowie zum Schluss noch einen Satz mit "Da die Ordnung von U die Ordnung von G telt...." oder so ähnlich.
Gruß
piet
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Hi Leute,
Die gleiche Aufgabe versuche ich auch zu lösen, aber ich weiß nicht wie man mit dem Untergruppenkriterium auf U={1,-1,x,-x} kommt.
Ich sitze hier schon ein Weile dran und würde mich freuen wenn mir das jemand mal ausführlich erklärt.
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 So 06.12.2009 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die gleiche Aufgabe versuche ich auch zu lösen, aber ich
> weiß nicht wie man mit dem Untergruppenkriterium auf
> U={1,-1,x,-x} kommt.
Nehmen wir mal an, daß p ungerade ist (sonst funktioniert das so nicht). Dann ist x jedenfalls [mm] \not= [/mm] 1, weil ja [mm] x^2 [/mm] = -1 [mm] \not= [/mm] 1 ist. Weiter ist [mm] x^2 [/mm] = -1 und damit [mm] x^3 [/mm] = [mm] (x^2)*x [/mm] = $(-1)*x$ = $-x [mm] \not= [/mm] 1$. [mm] x^4 [/mm] ist gleich [mm] x^2*x^2 [/mm] = $(-1)*(-1) = 1$.
Also kriege ich genau 4 verschiedene Elemente.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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