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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | Zeigen Sie für alle x > 0 die Abschätzungen
i) [mm] log(x) \le x-1[/mm]
ii) [mm] \bruch{1}{x + 1} \le log(x+1) - log(x) \le \bruch{1}{x} [/mm] |
Mein Ansatz war zu zeigen, dass [mm] f(1) = g(1) [/mm] und dann [mm] f'(x) < g'(x) , \forall x > 0 [/mm]
Also,
[mm] f(x) := log(x) - (1 - \bruch{1}{x} ) [/mm]
[mm] g(x) := x - 1 - log(x) [/mm]
Das folgt, da ich beide mit [mm] log(x) [/mm] subtrahiert habe.
Dann gilt:
[mm] f(1) = 0 - 1 - 1 = 0 [/mm]
[mm] g(1) = 1 - 1 - 0 = 0 [/mm]
also,
[mm] f'(x) = \bruch{1}{x} - 1 + \bruch{1}{x^{2}} [/mm]
[mm] g'(x) = 1 - \bruch{1}{x} [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] \bruch{-x^{2} + x + 1}{x^{2}} \le \bruch{x^{2} + x }{x} [/mm]
Hier forme ich einfach mal um ohne es zu notieren, immer mit Beachtung auf x > 0:
[mm] -x^{2} + x + 1 \le x^{2} + 1 \gdw x \le 2x^{2} [/mm]
Damit habe ich es doch gezeigt, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Qight!
> Zeigen Sie für alle x > 0 die Abschätzungen
Sicher, dass es x>0 heißt? (Siehe unten)
> i) [mm]log(x) \le x-1[/mm]
> ii) [mm]\bruch{1}{x + 1} \le log(x+1) - log(x) \le \bruch{1}{x}[/mm]
Es handelt sich hier wohl um den natürlichen Logarithmus?
> Mein Ansatz war zu zeigen, dass [mm]f(1) = g(1)[/mm] und dann [mm]f'(x) < g'(x) , \forall x > 0[/mm]
>
> Also,
> [mm]f(x) := log(x) - (1 - \bruch{1}{x} )[/mm]
Wie kommst du denn dadrauf? Vielleicht von ![[]](/images/popup.gif) hier? Die Ideen von dort kannst du schon nutzen, beachte aber, dass deine Aufgabenstellung ein bisschen anders lautet.
> [mm]g(x) := x - 1 - log(x)[/mm]
Ok, i) hast du bewiesen, wenn du zeigen kannst, dass [mm]g(x)\ge 0[/mm] [mm]\forall x>0[/mm].
> Das folgt, da ich beide mit [mm]log(x)[/mm] subtrahiert habe.
> Dann gilt:
> [mm]f(1) = 0 - 1 - 1 = 0[/mm]
> [mm]g(1) = 1 - 1 - 0 = 0[/mm]
> also,
> [mm]f'(x) = \bruch{1}{x} - 1 + \bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> [mm]g'(x) = 1 - \bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\bruch{-x^{2} + x + 1}{x^{2}} \le \bruch{x^{2} + x }{x}[/mm]
>
> Hier forme ich einfach mal um ohne es zu notieren, immer
> mit Beachtung auf x > 0:
> [mm]-x^{2} + x + 1 \le x^{2} + 1 \gdw x \le 2x^{2}[/mm]
> Damit habe ich es doch gezeigt, oder?
Für x=0.1 ist aber [mm]x\not\le 2x^2[/mm]... Was du da oben machst, funktioniert nur wenn x>1 vorausgesetzt ist (bei dir ist es x>0). Den Fall 0<x<1 musst du noch untersuchen.
Übrigens, kannst du dir bei deiner Aufgabenstellung das Leben leichter machen, wenn du f(x)=0 setzt.
Ob dieser Weg bei ii) auch funktioniert, hab ich nicht durchgerechnet, aber wenn du es versuchst, brauchst du tatsächlich zwei Hilfsfunktionen f und g - eine für die linke und eine für die rechte Ungleichung.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Qight |
Hallo Fulla,
Danke für deine Kontrolle, habe den Fall 0 < x < 1 vollkommen übersehen. Das muss ich also noch zeigen (Ja in der Aufgabe steht für x > 0 ), bin aber irgendwie gerade verwirrt.
Ach, ich nehme an, dass log auch als ln betrachtet werden darf, da wir dass (auch wenn das eigentlich falsch ist) immer so betrachtet haben.
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Hiho,
bei dieser Aufgabe brauchst du weder eine Hilfsfunktion noch sonstige Dinge, sondern einzig den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Zwei Tipps zu den Aufgaben:
a) Dividiere durch x-1 (Fallunterscheidung!) und nutze [mm] $\log(1) [/mm] = 0$
b) [mm] $\log(x+1) [/mm] - [mm] \log(x) [/mm] = [mm] \bruch{\log(x+1) - \log(x)}{(x+1) - x}$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Qight |
Hallo Gono,
Danke erstmal für die schnelle Antwort. Was den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung angeht, so wusste ich nicht ob diesen überhaupt anwenden darf, da ich keine Angaben besitze, außer x > 0. Man kann diesen ja nur für ein abgeschlossenes Intervall benutzen und das ist doch nicht wirklich gegeben. Wenn es doch funktioniert, bin ich natürlich sehr an diesen Weg interessiert.
zu a)
Gut die Fallunterscheidung ist logisch, da für x = 1 man eben nicht teilen darf. Nur den zweiten Tipp mit [mm] log(1) = 0 [/mm] verstehe ich nicht wirklich.
Wie gesagt bin mir nicht sicher ob ich überhaupt den Mittelwertsazt für Diff. anwenden darf. Das ist hier leider schwer ersichtlich.
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Hiho,
> Was den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung angeht, so wusste ich nicht ob diesen überhaupt anwenden darf, da ich keine Angaben besitze, außer x > 0.
Was sagt denn der Mittelwertsatz für den Ausdruck [mm] $\bruch{f(x) - f(y)}{x-y}$? [/mm]
> zu a)
> Gut die Fallunterscheidung ist logisch, da für x = 1 man eben nicht teilen darf. Nur den zweiten Tipp mit [mm]log(1) = 0[/mm] verstehe ich nicht wirklich.
Du vergisst Fälle! Was passiert denn mit dem Relationszeichen für x<1 ??
Und den Tipp verstehst du, wenn du dir die Frage zu obigem Ausdruck nochmal anguckst
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
Hallo,
Hier komme ich einfach nicht weiter, da mich das x > 0 irgendwie blockiert. Der ln ist nicht für x = 0 definiert, daher kann ich keine Betrachtung an dieser Stelle machen. Stehe da vollkommen auf dem Schlauch.
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Hiho,
meine Güte, eine reife Leistung ist das schon nicht eine Frage, die man dir gestellt hat, zu beantworten. So kann das natürlich nix werden.
So lange du nicht bereit bist den Weg zu benutzen, den man dir präsentiert, wird dir hier niemand helfen.
Darum nochmal für dich: Was sagt der Mittelwertsatz zu Ausdrücken der Form
[mm] $\bruch{f(a) - f(b)}{a-b}$
[/mm]
Und dann zur a)
Teile durch die Rechte Seite (Fallunterscheidung beachten!) und benutzen, dass [mm] $\ln(1) [/mm] = 0$ um einen Ausdruck der obigen Form zu erhalten.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
Hallo,
Um mal deine Frage zu beantworten, (falls mir das gelingt). Im allgemeinen wäre dieser Bruch (falls es sich um eine Funktion handelt, die stetig ist und in einem abgeschlossenen Intervall liegt) die Ableitung der Funktion. Geometrisch würde es bedeuten, dass die Sekandensteigung mindestens an einer Stelle die Steigung der Tangenten an den Graph der bestimmten Funktion annimmt.
Zu deinem Tipp. Also die Fallunterscheidung verläuft in drei Fälle:
1) x = 1
2) x > 1
3) 0 < x <1
Sehe das hoffentlich diesmal richtig.
Weiter: Ich soll nun
[mm] log(x) \le x - 1[/mm]
1) log(1) = 0 , sprich die Gleichheit stimmt für den Fall
2) [mm] \bruch{log(x)}{x-1} \ge 1 [/mm]
log(x) ist für x > 0 immer positiv .
3) [mm] \bruch{log(x)}{x-1} \ge 1 [/mm]
log(x) ist für 0 < x < 1 immer negativ . Eigentlich folgt daraus schon dass der Term somit kleiner 1 ist.
Laufe ich den nun in die gewünschte Richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Di 15.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Qight!
> Hallo,
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> Um mal deine Frage zu beantworten, (falls mir das gelingt).
> Im allgemeinen wäre dieser Bruch (falls es sich um eine
> Funktion handelt, die stetig ist und in einem
> abgeschlossenen Intervall liegt) die Ableitung der
> Funktion. Geometrisch würde es bedeuten, dass die
> Sekandensteigung mindestens an einer Stelle die Steigung
> der Tangenten an den Graph der bestimmten Funktion annimmt.
>
> Zu deinem Tipp. Also die Fallunterscheidung verläuft in
> drei Fälle:
> 1) x = 1
> 2) x > 1
> 3) 0 < x <1
> Sehe das hoffentlich diesmal richtig.
> Weiter: Ich soll nun
> [mm]log(x) \le x - 1[/mm]
> 1) log(1) = 0 , sprich die Gleichheit stimmt für den Fall
> 2) [mm]\bruch{log(x)}{x-1} \ge 1[/mm]
> log(x) ist für x > 0 immer positiv .
>
> 3) [mm]\bruch{log(x)}{x-1} \ge 1[/mm]
> log(x) ist für 0 < x < 1 immer negativ . Eigentlich folgt
> daraus schon dass der Term somit kleiner 1 ist.
>
> Laufe ich den nun in die gewünschte Richtung?
Es geht bei dem Tipp nicht nur nur um den Logarithmus. Du teilst ja durch x-1. Das musst du bei der Fallunterscheidung auch berücksichtigen.
Und die Form [mm]\frac{f(a)-f(b)}{a-b}[/mm] wurde ja auch schon mehrmals angesprochen. Die hast du noch nicht...
Weiterer Tipp: [mm]\frac{\log(x)-0}{x-1}[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
Hallo Fulla,
Also bei der Fallunterscheidung habe ich nun vollkommen den Faden verloren. Ja ich muss Fälle unterscheiden, da ich durch x-1 teile. Kritischer Punkt ist natürlich x=1 , den habe ich doch untersucht. log(1) = 0 [mm] \le [/mm] 1-1 = 0 . Dafür klappt doch die Gleichheit. Sprich diesen Fall habe ich untersucht.
Nun wäre also noch der andere Fall zu untersuchen, nämlich x [mm] \not= [/mm] 0 . Diesen versuche ich doch sogar noch besser zu unterteilen indem ich nun den Fall x > 1 und 0 < x <1 untersuche.
Zudem Mittelwert:
$ [mm] \frac{f(a)-f(b)}{a-b} [/mm] $
Ich verstehe ja die Idee dahinter. Ich teile durch x-1 um eben einen besonderen Fall zu entwickeln sprich [mm] f(a) = f(x) = log(x) [/mm] und [mm] f(b) = f(1) = log(1) = 0 , b = 1 [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{log(x)-log(1)}{x-1} = \bruch{log(x)-0}{x-1} [/mm]
Nur fehlt mir hier nun eben der Anschluss um weiter zu kommen.
Trotzdem danke, dass ihr euch weiter bemüht.
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Hiho,
> Hallo Fulla
nix Fulla, aber macht nix.
> [mm]\Rightarrow \bruch{log(x)-log(1)}{x-1} = \bruch{log(x)-0}{x-1}[/mm]
Das sieht doch schonmal gut aus, was sagt denn nun der Mittelwertsatz zu diesem Bruch aus???
Das hast du noch nie hingeschrieben.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Di 15.07.2014 | | Autor: | Qight |
Prinzipiell heißt es, dass die Sekante die Tangente an der Stelle 1 parallel sind. Somit würde es heißen, dass es sich dabei um die Ableitung handelt. War es das worauf du abgesehen hast?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mi 16.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du geschrieben hast ist kein deutscher Satz. und eine belibige Skante zwischen y und 1 kann ja nich immer dieselbe Steigung haben, wie die Tangent bei x=1, wenn das sein wirrer Satz sagt. Formulier mal wirklich den MR Satz mit den Worten Sekante und Tangente!
was heisst dabei das Wort "Mittel"
vielleicht hilft dir auch ne skizze mit Sekanten und Tangenten!
Gruß leduart
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