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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen.
[mm]\bruch{1}{{x-2}} < \bruch{1}{{x+1}} (x \not= -1,2[/mm]; Es sind 3 Fallunterscheidungen notwenig!) |
Hallo,
ich tu mich schwer mit der Aufgabe, deshalb erzähle ich mal, was ich gemacht habe und was mich verwirrt und ihr sagt mir hoffentlich, was ich falsch mache.
Also, ich habe erstmal versucht, ob ich es einfach nach x umstellen kann und frage mich die ganz Zeit, ob ich damit schon etwas falsches gemacht habe...
[mm]\bruch{1}{{x-2}} < \bruch{1}{{x+1}}
\Rightarrow x+1 < x-2[/mm] Darf man das so einfach machen?
[mm]\Rightarrow x+3 < x \Rightarrow 3 < 0 [/mm]
Und das 3 kleiner als 0 ist, seh ich nicht ein ^^
Wenn man sich die Ausgangsgleichung anschaut, stimmt die so überhaupt? Ich meine, für alle x>0 kommt da Mist raus, oder?
[mm] \bruch{1}{{x-2}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{{x+1}}
[/mm]
mal für x= 4 [mm] \Rightarrow \bruch{1}{{4-2}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{{4+1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Und das stimmt genauso wenig wie 3<0
(So allgemein ist x-2 kleiner als x+1 , für x>0 und somit der linke Bruch größer als der rechte)
Will die Aufgabe nun von mir, dass ich das einfach so hinschreibe? Also das die Aufgabe nur für x [mm] \le [/mm] 0 funktioniert? Müsste ich das bei der Rechnung schon beachten (also wen ich mit (x-2) multipliziere, x aber kleiner zwei ist, müsste dann schon das Rechenzeichen umgedreht werden)? Und wo habe ich dann 3 Fallunterscheidungen, ich hab dann ja nur 2, nämlich größer null und kleiner/gleich null. Und überhaupt, müsste das nicht schon bei der Aufgabe selbst stehen, da sie sonst ja gar nicht stimmt?
Beste Grüße
Fin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Fulla |
> Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen.
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> [mm]\bruch{1}{{x-2}} < \bruch{1}{{x+1}} (x \not= -1,2[/mm]; Es sind
> 3 Fallunterscheidungen notwenig!)
> Hallo,
>
> ich tu mich schwer mit der Aufgabe, deshalb erzähle ich
> mal, was ich gemacht habe und was mich verwirrt und ihr
> sagt mir hoffentlich, was ich falsch mache.
>
> Also, ich habe erstmal versucht, ob ich es einfach nach x
> umstellen kann und frage mich die ganz Zeit, ob ich damit
> schon etwas falsches gemacht habe...
Hallo Fin,
nach x auflösen ist eine gute Idee, aber du musst schon die 3 Fallunterscheidungen machen.
> [mm]\bruch{1}{{x-2}} < \bruch{1}{{x+1}}
\Rightarrow x+1 < x-2[/mm]
> Darf man das so einfach machen?
Ja, darf man. Aber nur wenn $x-2$ und $x+1$ beide positiv oder beide negativ sind. Das ist der Fall wenn $x>2$ oder $x<-1$ ist. (Was passiert denn, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst?)
> [mm]\Rightarrow x+3 < x \Rightarrow 3 < 0[/mm]
>
> Und das 3 kleiner als 0 ist, seh ich nicht ein ^^
Das zeigt dir, dass es in oben genannten Bereichen keine Lösung gibt.
> Wenn man sich die Ausgangsgleichung anschaut, stimmt die so
> überhaupt? Ich meine, für alle x>0 kommt da Mist raus,
> oder?
>
> [mm]\bruch{1}{{x-2}}[/mm] < [mm]\bruch{1}{{x+1}}[/mm]
> mal für x= 4 [mm]\Rightarrow \bruch{1}{{4-2}}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{{4+1}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}[/mm] < [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Und das stimmt genauso wenig wie 3<0
Das liegt daran, dass 4 auch in dem Bereich liegt, für den es keine Lösung gibt.
> (So allgemein ist x-2 kleiner als x+1 , für x>0 und somit
> der linke Bruch größer als der rechte)
>
> Will die Aufgabe nun von mir, dass ich das einfach so
> hinschreibe? Also das die Aufgabe nur für x [mm]\le[/mm] 0
> funktioniert? Müsste ich das bei der Rechnung schon
> beachten (also wen ich mit (x-2) multipliziere, x aber
> kleiner zwei ist, müsste dann schon das Rechenzeichen
> umgedreht werden)? Und wo habe ich dann 3
> Fallunterscheidungen, ich hab dann ja nur 2, nämlich
> größer null und kleiner/gleich null. Und überhaupt,
> müsste das nicht schon bei der Aufgabe selbst stehen, da
> sie sonst ja gar nicht stimmt?
Nun, du hast eine Ungleichung, die, wie du festgestellt hast, nicht für alle [mm] $x\in\mathbb [/mm] R$ richtig ist. Die Aufgabe ist es, die Werte von x zu bestimmen, für die die Ungleichung richtig ist.
Die Fallunterscheidungen sind $x<-1$, $-1<x<2$ und $x>2$, weil sich an den Stellen -1 und 2 die Vorzeichen der Nenner ändern.
Den ersten und dritten Fall hast du oben schon so einigermaßen durchgerechnet. Es fehlt noch der zweite Fall.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Fincayra |
> Die Fallunterscheidungen sind [mm]x<-1[/mm], [mm]-12[/mm], weil
> sich an den Stellen -1 und 2 die Vorzeichen der Nenner
> ändern.
> Den ersten und dritten Fall hast du oben schon so
> einigermaßen durchgerechnet. Es fehlt noch der zweite
> Fall.
Ach so, okay. Und ich hab mich schon gefragt, ob irgendwo in der Aufgabe Betragsstriche fehlen, weil die ganze restlich Aufgabe (dies hier ist nur eine von 4 Teilaufgaben) sich mit Beträgen beschäftigt.
Dann weiß ich bescheid, vielen Dank : )
LG
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