Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | Bestimmen sie jeweils die Menge aller x element X (schreiben sie die Lösungsmenge als Vereinigung von Intervallen), so dass die Aussagen wahr sind
X = [mm] \IR, [/mm] |x+a| + |x-a| > 2 für ein festes a [mm] \in \IR [/mm] |
Ich habe ein Problem, oder ehr gesagt bin hier etwas unsicher. Ich führe zunächst meine Rechnung auf und versuche zuerklären, wo meine unsicherheit liegt.
Zunächst muss ich Fallunterscheidungen machen, damit ich die Beträge auflösen kann.
1. Fall x+a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] x-a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -a [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge [/mm] a
[mm] \Rightarrow [/mm] x+a+x-a>2
[mm] \gdw [/mm] 2x>2
[mm] \gdw [/mm] x>1
wäre die Lösungmenge von x ja in dem Fall für [mm] \IL [/mm] (1, [mm] \infty [/mm] )
2.Fall x+a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] x-a < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -a [mm] \wedge [/mm] x < a
[mm] \Rightarrow [/mm] x+a-(x-a)>2
[mm] \gdw [/mm] 2a>2
[mm] \gdw [/mm] a>1
Bekomme ich den dem Fall eine Lösungmenge für a raus? Oder sagt mir dieser Fall nichts? wäre dann ja Lösungmenge von a ja in dem Fall für [mm] \IL [/mm] (1, [mm] \infty [/mm] )
Durch nur positive Werte von a wäre ja auch meine ,,Fallbedingung'' erfüllt
3. x-a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] x+a < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] a [mm] \wedge [/mm] x < -a
[mm] \Rightarrow [/mm] -(x+a)+x-a>2
[mm] \gdw [/mm] -2a>2
[mm] \gdw [/mm] a<1
Gleiche Frage wie bei Fall2. Außerdem wäre ja hier theoretisch die Lösungsmenge [mm] \IL [/mm] ( [mm] -\infty [/mm] , 1 ). Jedoch würde bei werte von (0,1) nicht stimmen... ich dürfte theortisch nur werte von [mm] (-\infty, [/mm] 0) einsetzen.
Fall4. x+a<0 [mm] \wedge [/mm] x-a<0 [mm] \Rightarrow [/mm] x<-a [mm] \wedge [/mm] x<a
[mm] \Rightarrow [/mm] -(x+a)-(x-a)>2
[mm] \gdw [/mm] -2x>2
[mm] \gdw [/mm] x<1
Lösungsmenge wäre ja [mm] \IL [/mm] ( [mm] -\infty [/mm] , 1 )
Dadruch hätte ich ja die Gesamte Lösungsmenge für x wäre [mm] \IL [/mm] _{x}({ ( [mm] -\infty [/mm] , 1 ) , [mm] (1,\infty [/mm] ) }) und für a [mm] \IL [/mm] _{a}{ ( [mm] -\infty [/mm] , 1 ) , [mm] (1,\infty [/mm] ) }
Eins meiner Problem ist, dass der 2. und 3. Fall eigentlich keien Aussage über x treffen sondern nur über a.
Ich hoffe ich konnte verdeutlichen wo mein Problem besteht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Fr 20.11.2015 | | Autor: | chrisno |
> Bestimmen sie jeweils die Menge aller x element X
> (schreiben sie die Lösungsmenge als Vereinigung von
> Intervallen), so dass die Aussagen wahr sind
> X = [mm]\IR,[/mm] |x+a| + |x-a| > 2 für ein festes a [mm]\in \IR[/mm]
> Ich
> habe ein Problem, oder ehr gesagt bin hier etwas unsicher.
> Ich führe zunächst meine Rechnung auf und versuche
> zuerklären, wo meine unsicherheit liegt.
>
> Zunächst muss ich Fallunterscheidungen machen, damit ich
> die Beträge auflösen kann.
> 1. Fall x+a [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x-a [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] -a
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\ge[/mm] a
> [mm]\Rightarrow[/mm] x+a+x-a>2
> [mm]\gdw[/mm] 2x>2
> [mm]\gdw[/mm] x>1
> wäre die Lösungmenge von x ja in dem Fall für [mm]\IL[/mm] (1,
> [mm]\infty[/mm] )
In der Lösungsmenge dürfen aber nur die x sein, die Du vorher betrachtet hast, sie müssen also auch noch die hinter 1. Fall aufgeführten Bedingungen erfüllen. Daher schlage ich vor, dass Du vor den vier Fällen erst a > 0, a = 0 und a < 0 unterscheidest.
>
> Fall4. x+a<0 [mm]\wedge[/mm] x-a<0 [mm]\Rightarrow[/mm] x<-a [mm]\wedge[/mm] x<a
> [mm]\Rightarrow[/mm] -(x+a)-(x-a)>2
> [mm]\gdw[/mm] -2x>2
> [mm]\gdw[/mm] x<1
> Lösungsmenge wäre ja [mm]\IL[/mm] ( [mm]-\infty[/mm] , 1 )
Wie eben
>
> 2.Fall x+a [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x-a < 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] -a
> [mm]\wedge[/mm] x < a
> [mm]\Rightarrow[/mm] x+a-(x-a)>2
> [mm]\gdw[/mm] 2a>2
> [mm]\gdw[/mm] a>1
> Bekomme ich den dem Fall eine Lösungmenge für a raus?
Lösungsmenge ist kein guter Begriff. Zuerst einmal:
Da keine Bedingung für x mehr gegeben ist, gilt die Aussage für alle x aus dem Intervall.
Es gibt aber nur passende x, wenn a > 1 ist, denn sonst kommt immer etwas <2 heraus, egal, welche x Du einsetzt.
> Oder sagt mir dieser Fall nichts? wäre dann ja
> Lösungmenge von a ja in dem Fall für [mm]\IL[/mm] (1, [mm]\infty[/mm] )
> Durch nur positive Werte von a wäre ja auch meine
> ,,Fallbedingung'' erfüllt
>
> 3. x-a [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x+a < 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] a [mm]\wedge[/mm] x <
> -a
> [mm]\Rightarrow[/mm] -(x+a)+x-a>2
> [mm]\gdw[/mm] -2a>2
> [mm]\gdw[/mm] a<1
> Gleiche Frage wie bei Fall2. Außerdem wäre ja hier
> theoretisch die Lösungsmenge [mm]\IL[/mm] ( [mm]-\infty[/mm] , 1 ). Jedoch
> würde bei werte von (0,1) nicht stimmen... ich dürfte
> theortisch nur werte von [mm](-\infty,[/mm] 0) einsetzen.
Auch hier muss x aus dem Intervall sein. Schau Dir das mal an. Für welche a kann es überhaupt nur x aus diesem Intervall geben? Selbst wenn es sie gibt, dann kann die Ungleichung nur erfüllt werden, wenn a < 1 ist
>
> Dadruch hätte ich ja die Gesamte Lösungsmenge für x
> wäre [mm]\IL[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
_{x}({ ( [mm]-\infty[/mm] , 1 ) , [mm](1,\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) }) und für
> a [mm]\IL[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
_{a}{ ( [mm]-\infty[/mm] , 1 ) , [mm](1,\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) }
So ist das sicher falsch. Fang mal an mit den Fallunterscheidungen für a. Die geforderte Darstellung als Vereinigung von Intervallen sehe ich noch nicht.
>
> Eins meiner Problem ist, dass der 2. und 3. Fall eigentlich
> keien Aussage über x treffen sondern nur über a.
> Ich hoffe ich konnte verdeutlichen wo mein Problem
> besteht.
Du hast gut dargestellt, was Dein Problem ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ich habe dein Tipp mal befolgt und würde gern fragen ob mein Anfang so geht oder ob ich wieder auf dem falschen Weg bin.
|x+a| + |x-a| > 2
für a>0 folgt |x+a| + |x-a| > 2
für a=0 folgt |x| + |x| > 2
für a<0 folgt |x-a| + |x+a| > 2
Fall 1. a>0
und x+a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -a
und x-a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] a
[mm] \Rightarrow [/mm] a+x+x-a>2
[mm] \gdw [/mm] x>1
die oben gleichungen sind für alle [mm] \IL [/mm] (1, [mm] \infty). [/mm] Das wäre meine Lösungsmenge für a>0
und x+a [mm] \ge [/mm] 0 und x-a [mm] \ge [/mm] 0
Fall 2. wäre a>0
und x+a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -a
und x-a < 0 [mm] \gdw [/mm] x < a
[mm] \Rightarrow [/mm] x+a-x+a>2
[mm] \gdw [/mm] a>1
das würde ja sagen für alle a>1 gilt die gleichung für alle x [mm] \IL [/mm] (-1,1) gelten.
Fall 3. a>0
und x+a < 0 [mm] \gdw [/mm] x < -a
und x-a < 0 [mm] \gdw [/mm] x < a
[mm] \Rightarrow [/mm] -x-a+x-a>2
[mm] \gdw [/mm] x<1
würde mir jetzt keine Lösung geben weil für jedes positive a ist x<a & x<-a
da würde die Lösungsmenge für mich sein dass [mm] \IL (-\infty, [/mm] -a)
Fall 4. a>0
und x+a < 0 [mm] \gdw [/mm] x < -a
und x-a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] a
[mm] \Rightarrow [/mm] -x-a+x-a>2
[mm] \gdw [/mm] a<1
wäre für mich [mm] \IL [/mm] keine Lösung ergeben. da für die werten von a(0,1) kann x nicht beide gleichung erfüllen.
Ist diese denkweise richtig oder bin ich wieder auf dem falschen weg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ich glaube ich habe selbst ein fehler gemacht. Ich habe in der Aufgabenstellung für a<0 schon die Vorzeichen gedreht hätte das aber wenn erst in der betrachtung machen müssen. Oder irre ich mich da jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Fr 20.11.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich habe das anders gemeint. Schränke die Aufgabe ein auf a > 0.
Dann kannst Du die Bedingungen für x in allen vier Fällen einfacher schreiben.
1. Fall x+a $ [mm] \ge [/mm] $ 0 $ [mm] \wedge [/mm] $ x-a $ [mm] \ge [/mm] $ 0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \ge [/mm] $ -a $ [mm] \wedge [/mm] $ x $ [mm] \ge [/mm] $ a
Das wird nun zu $ [mm] \ge [/mm] $ a.
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x+a+x-a>2
> $ [mm] \gdw [/mm] $ 2x>2
> $ [mm] \gdw [/mm] $ x>1
> wäre die Lösungmenge von x ja in dem Fall für $ [mm] \IL [/mm] $ (1, $ [mm] \infty [/mm] $ )
Dann ist $ [mm] \IL [/mm] = [mm] \{x| x>1 \wedge x \ge a \}$
[/mm]
.... nun mache ich Feierabend.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:31 Fr 20.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
1. Fall x+a $ [mm] \ge [/mm] $ 0 $ [mm] \wedge [/mm] $ x-a $ [mm] \ge [/mm] $ 0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \ge [/mm] $ -a $ [mm] \wedge [/mm] $ x $ [mm] \ge [/mm] $ a
[mm] \Rightarrow [/mm] x+a+x-a>2
[mm] \gdw [/mm] 2x>2
[mm] \gdw [/mm] x>1
[mm] \Rightarrow [/mm] für a>0 wird zu x [mm] \ge [/mm] a [mm] \IL [/mm] = [mm] \{x| x>1 \wedge x \ge a \} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für a=0 wäres x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \IL [/mm] = [mm] \{x| x>1 \wedge x \ge 0 \} \ge \IL [/mm] = [mm] \{x| x>1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für a<0 wird es zu x [mm] \ge [/mm] a [mm] \IL [/mm] = [mm] \{x| x>1 \wedge x \ge a \} [/mm]
also wäre als [mm] \IL_{1}={x| x>1 \wedge x \ge a \}
[/mm]
Fall2. x+a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] x-a < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -a [mm] \wedge [/mm] x < a
[mm] \Rightarrow [/mm] x+a-x+a>2
[mm] \gdw [/mm] a>1
[mm] \Rightarrow [/mm] (bin mir unsicher) [mm] \IL [/mm] = { x| -1 [mm] \le [/mm] x <1 } oder [mm] \IL [/mm] ={ x| -a [mm] \le [/mm] x <a }
Fall3. x+a < 0 [mm] \wedge [/mm] x-a < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x < -a [mm] \wedge [/mm] x < a
[mm] \Rightarrow [/mm] -x-a-x+a>2
[mm] \gdw [/mm] x<1
Für a>0 folgt aus dem Fall x<-a [mm] \IL [/mm] ={ x| x<1 [mm] \wedge [/mm] x<-a }
Für a=0 folgt aus dem Fall x<0 [mm] \IL [/mm] ={ x| x<1 [mm] \wedge [/mm] x<0 }
für a<0 folgt aus dem Fall x<a [mm] \IL [/mm] ={ x| x<1 [mm] \wedge [/mm] x<a }
Fall4. x+a < 0 [mm] \wedge [/mm] x-a [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] -x-a+x-a>2
[mm] \gdw [/mm] a < 1
also -a < x [mm] \ge [/mm] a
Also wieder wie zwei [mm] \IL [/mm] ={ x| -1 [mm] \le [/mm] x <1 } oder [mm] \IL [/mm] ={ x| -a [mm] \le [/mm] x <a }
Wenn diese Lösungen so richtig wären, was ich jedoch bezweile wäre die Intervallschreibweise der Lösung ja die zusammensetzung der einzelnen lösen, auchnoch wird halt x<1 zu [mm] (1,\infty) [/mm] jedoch müsste ich erstmal die Lösungen bekommen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Sa 21.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ich versuch es nochmal. Hab es mir auch mal mit Zahlen verdeutlicht.
1. Fall x+a $ [mm] \ge [/mm] $ 0 $ [mm] \wedge [/mm] $ x-a $ [mm] \ge [/mm] $ 0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \ge [/mm] $ -a $ [mm] \wedge [/mm] $ x $ [mm] \ge [/mm] $ a
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x+a+x-a>2
$ [mm] \gdw [/mm] $ 2x>2
$ [mm] \gdw [/mm] $ x>1
$ [mm] \IL [/mm] $ = $ [mm] \{x| x>1 \wedge x \ge |a| \} [/mm] $
Fall 3. x+a < 0 $ [mm] \wedge [/mm] $ x-a < 0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x < -a $ [mm] \wedge [/mm] $ x < a
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ -x-a-x+a>2
$ [mm] \gdw [/mm] $ x<-1
Das wäre ja ähnlich wie im ersten Fall. $ [mm] \IL [/mm] $ = $ [mm] \{x| x<-1 \wedge x < |a| \} [/mm] $
Fall2 und 4 verwirren mich etwas.
Fall2. x+a $ [mm] \ge [/mm] $ 0 $ [mm] \wedge [/mm] $ x-a < 0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \ge [/mm] $ -a $ [mm] \wedge [/mm] $ x < a
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x+a-x+a>2
$ [mm] \gdw [/mm] $ a>1
Das wäre ja [mm] \IL [/mm] $ = $ [mm] \{x| -a \le x < a \} [/mm] $ aber wie bringe ich dort das a>1 ist.
Fall4. x+a < 0 $ [mm] \wedge [/mm] $ x-a $ [mm] \ge [/mm] $ 0 x< -a [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge [/mm] a
[mm] \Rightarrow [/mm] a < x [mm] \le [/mm] -a
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ -x-a+x-a>2
$ [mm] \gdw [/mm] $ a < -1
Da a kleiner < -1 ist und somit negativ... hätte ich ja sozusagen das gleiche verhältnis wie in Fall2.. Denn bei einsetzen eines negativen a würden sich die vorzeichen genauso drehen wie in Fall 2. Außer dass ich a ''<'' x [mm] ''\le'' [/mm] -a hätte.
Hier genau das Problem.... mir würde die zusammenfassung von Fall2&4 eigentlich nur sagen dass |a|>1 sein muss...
und Hätte dann als gesamt Lösung sowas wie [mm] \IL [/mm] $ = $ [mm] \{x|(-\infty ,1) (1,\infty)} [/mm] ohne berücksichtigung von Fall2&4. Denn wenn ich die Berücksichtigen müsste hätte ich
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Sa 21.11.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo Lars,
ist dir klar, dass der Term |x-a| die Größe des Abstandes zwischen den reellen Zahlen x und a beschreibt?
Wenn ja: x+a kann man auch als x-(-a) schreiben, und |x+a| beschreibt dann (in der Form |x-(-a)|) den Abstand zwischen den reellen Zahlen x und (-a).
Die Ungleichung |x+a|+|x-a|>2 bedeutet also:
Die Summe der Abstände eine Zahl z zu den beiden (entgegengesetzten) Zahlen a und (-a) ist größer als 2.
Wenn a und -a so eng zusammenliegen, dass der Abstand zwischen ihnen kleiner oder gleich 2 ist (letzteres gilt bei 1 und -1), dann ist für jedes x zwischen a und -a die Abstandssumme kleiner oder gleich 2, und zwischen a und -a gibt es gar keine Möglichkeit für x.
Wenn a und -a die beiden Werte 1 und -1 annehmen (eventuell auch in umgekehrter Reihenfolge), dann ist jede Zahl x>1 allein schon von -1 um mehr als 2 entfernt, und jede Zahl x<-1 ist allein schon von 1 um mehr als 2 entfernt.
Ist a z. B. -0,8 (und a also 0,8), dann lägen die Grenzen deiner für x erlaubten Bereiche bei x=1 (das hat von 0,8 den Abstand 0,2 und von -0,8 den Abstand 1,8; die Abstandssumme wäre also genau 2 und für x= wäre die Abstandssumme größer als 2) bzw. bei x=-1.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:54 Sa 21.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Das ist mir schon klar... Wir hatten das Beispiel für |x+1|+|x-1|>2. Dort konnte man relativ fix die Bereiche bestimmen und halt wie du sagtes zwischen 1 und -1 gibt es keinen Wer in dem Beispiel. Mein Problem ist nicht so richtig das verstehen warum es so ist sondern ehr das aufschreiben und zeigen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 23.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Sa 21.11.2015 | | Autor: | chrisno |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Da hab ich in der Eile etwas falsch gemacht. Deine Kritik ist völlig berechtigt.
Da bin ich in der Notation nicht sicher. Ich würde eine Fallunterscheidung machen:
Wenn a > 1, dann $ \IL = \{ x| -a \le x < a \} $ sonst $ \IL = \emptyset \}$.
Das muss noch in die geforderte Form gebracht werden.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 21.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Dachte ich mir. Aber das ja nicht so schlimm, dass kan passieren.
Jedoch habe ich ja jetzt die Teillösungsmengen bekommen, wie geb ich dann aber in Intervallschreibweise die Gesamtlösung an. Weil hätte ja intervall in abhängigkeit von |a|.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 So 22.11.2015 | | Autor: | chrisno |
$ [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ x|(|x| \cdot a > |x| \wedge ( -a \le x < a) \} [/mm] $
was hältst Du davon?
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 10:42 So 22.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
> [mm]\IL = \{ x|(|x| \cdot a > |x| \wedge ( -a \le x < a) \}[/mm]
>
> was hältst Du davon?
>
Du nimmst |x| [mm] \cdot [/mm] a > |x| weil dadruch ja a>1 sein muss oder? irre ich mich da? Und dadruch habe ich ja automatisch dass für ( -a [mm] \le [/mm] x < a) auch gelten muss a>1 ? Aber habe ich nicht im Fall4 dass a<-1 sein muss?
Und noch eine Frage. Stimmte meine Letzte Aussage zu Fall 4 mit a<-1?
Und wäre eine Intervallschreibweise nicht sowas wie? [mm] \IL= \{ [-a,a],.... \}?
[/mm]
Bei dem Beispiel a=1 bekomme ich ja die [mm] \IL= \{ -\infty,-1),(1, \infty)\}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 24.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Mo 23.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Ich würde mich trd über eine Lösung der aufgabe freuen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 23.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich würde mich trd über eine Lösung der aufgabe freuen.
da waren ein paar Korrekturen vorzunehmen, siehe meine Antwort hier:
https://matheraum.de/read?i=1067302
Ich schreibe jetzt hier mal eine "kurze Anschauungslösung" - die folgt, wenn
man sich erstmal klarmacht, wie der Graph auf $x [mm] \ge [/mm] 0$ von [mm] $f_a$ [/mm] mit
$ [mm] f_a(x)=|x+a|+|x-a|-2=x+a+|x-a|-2=\begin{cases} 2x-2, & \mbox{für } x \ge a \\ 2a-2, & \mbox{für } 0 \le x < a\end{cases}\ [/mm] $
(o.E. $a [mm] \ge [/mm] 0$)
aussieht.
1. Plotte den Graphen der Funktion
[mm] $g:=f_0$,
[/mm]
also
[mm] $g(x)=2*|x|-2\,.$
[/mm]
Das ist einfach: Wenn ich nur $x [mm] \ge [/mm] 0$ betrachte, kenne ich den y-Achsenabschnitt,
weiß also, dass $(0;-2)$ zum Graphen gehört, und ich habe die Steigung
2, gehe von dort also "1 nach rechts und 2 nach oben" zum Punkt $(1;0)$.
Den "ganzen Graphen von g" erhalte ich, weil [mm] $g\,$ [/mm] symmetrisch zur y-Achse
ist, indem ich halt den oben genannten Graphen dann noch an dieser
Achse spiegele.
Wie finde ich nun heraus, wie der Graph von [mm] $f_a$ [/mm] aussieht? Naja, ich gehe
an die Stelle [mm] $x=a\,,$ [/mm] dann schaue ich mir $g(x)=g(a)=|2a|-2$ an; ich erhalte
den Punkt $(a; |2a|-2)$.
Jetzt zeichne ich damit den Graphen der zur x-Achse parallelen Geraden, welche
durch $y=|2a|-2$ gegeben ist.
Der Graph von [mm] $g\,$ [/mm] schneidet diese (genau in den Punkten $(-|a|,|2a|-2)$ und $(|a|;|2a|-2)$)
- die so begrenzte endliche Strecke gehört zum Graphen von [mm] $f_a\,.$ [/mm] Außerhalb
dieser Strecke stimmt der Graph von [mm] $f_a$ [/mm] mit dem von [mm] $g\,$ [/mm] überein.
Daher ist es "fast trivial zu überlegen":
- Der Graph von [mm] $f_a$ [/mm] liegt für $a > 1$ stets gänzlich echt oberhalb der x-Achse.
- Der Graph von [mm] $f_a$ [/mm] liegt für $a = 1$ genau für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ AUF der x-Achse,
und ansonsten echt oberhalb der x-Achse (beachte $g(1)=0$).
- Der Graph von [mm] $f_a$ [/mm] liegt für $a > 1$ genau für die beiden $x [mm] \in \{-1,1\}$ [/mm] AUF der x-Achse,
für $-1 < x < 1$ UNTERHALB der x-Achse und ansonsten echt oberhalb der x-Achse (beachte $g(1)=0$).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 23.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie jeweils die Menge aller x element X
> (schreiben sie die Lösungsmenge als Vereinigung von
> Intervallen), so dass die Aussagen wahr sind
> X = [mm]\IR,[/mm]
(*)|x+a| + |x-a| > 2
> für ein festes a [mm]\in \IR[/mm]
> Ich
> habe ein Problem, oder ehr gesagt bin hier etwas unsicher.
> Ich führe zunächst meine Rechnung auf und versuche
> zuerklären, wo meine unsicherheit liegt.
da wurde ja schon vieles geklärt, ich denke, ich kommentiere Dir Deine
Rechnungen und wir fassen die Ergebnisse zusammen!
Sei ZUNÄCHST $a [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig.
> Zunächst muss ich Fallunterscheidungen machen, damit ich
> die Beträge auflösen kann.
> 1. Fall x+a [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x-a [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] -a
>
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\ge[/mm] a
Naja, es gilt
($x [mm] \ge [/mm] a$ und $x [mm] \ge [/mm] -a$) [mm] $\iff$ [/mm] $x [mm] \ge [/mm] |a|$.
Also im 1. Fall wird $x [mm] \ge [/mm] |a|$ vorausgesetzt, unter dieser Voraussetzung
ist (*) gleichwertig (nicht nur [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] schreiben - bedenke, dass Du, wenn
Du auch nur eine [mm] $\Rightarrow$-Folgerungen [/mm] machst, dann eigentlich nur sagst, was notwendig
für (*) ist - am Ende bekämst Du rein formal also nur eine Obermenge der
Lösungsmenge für den ersten Fall).
Wobei Du das auch anders meinst, als Du es schreibst...
> [mm]\Rightarrow[/mm] x+a+x-a>2
Hier also vielleicht mal ganz genau:
Im 1. Fall, also $x [mm] \ge [/mm] -a$, gilt (*) [mm] $\gdw$ [/mm] $x+a+x-a > 2$
> [mm]\gdw[/mm] 2x>2
> [mm]\gdw[/mm] x>1
> wäre die Lösungmenge von x ja in dem Fall für [mm]\IL[/mm] (1,
> [mm]\infty[/mm] )
Nein, sondern:
[mm] $\IL_{\text{1. Fall}}=(1,\infty) \cap [|a|,\infty)$.
[/mm]
Bedenke, dass wir nur [mm] $x\,$ [/mm] mit $x [mm] \ge [/mm] |a|$, also $x [mm] \in [|a|,\infty)$, [/mm] überhaupt betrachtet
haben!
> 2.Fall x+a [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x-a < 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\ge[/mm] -a
> [mm]\wedge[/mm] x < a
Ein reelles x mit $x [mm] \ge [/mm] -a$ und $x < a$ existiert NUR, wenn $a > 0$ ist. Also:
Fall 2a): Falls $a [mm] \le [/mm] 0$ ist, so ist [mm] $\IL_{\text{2. Fall}}=\varnothing.$
[/mm]
Fall 2b): Nun sei $a > 0$ und $-a [mm] \le [/mm] x < a$, dann ist (*) gleichwertig mit:
> x+a-(x-a)>2
> [mm]\gdw[/mm] 2a>2
> [mm]\gdw[/mm] a>1
Das bedeutet folgendes:
Im Falle $a > 1$ ist
[mm] $\IL_{\text{2. Fall}}=[-a,a)\,.$
[/mm]
Im Falle $a [mm] \le [/mm] 1$ (genauer: $0 < a [mm] \le [/mm] 1$) ist
[mm] $\IL_{\text{2. Fall}}=\varnothing$.
[/mm]
> Bekomme ich den dem Fall eine Lösungmenge für a raus?
> Oder sagt mir dieser Fall nichts? wäre dann ja
> Lösungmenge von a ja in dem Fall für [mm]\IL[/mm] (1, [mm]\infty[/mm] )
> Durch nur positive Werte von a wäre ja auch meine
> ,,Fallbedingung'' erfüllt
S.o.!
> 3. x-a [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x+a < 0
Auch hier schreibst Du besser:
3. Fall: Es sei $x-a [mm] \ge [/mm] 0$ und $x+a < [mm] 0\,,$ [/mm] bzw. äquivalent(!) dazu
$x [mm] \ge [/mm] a$ und $x < [mm] -a\,.$
[/mm]
Zunächst: Ist $a [mm] \ge 0\,,$ [/mm] so gibt es kein reelles x mit $x [mm] \ge [/mm] a$ und $x < [mm] -a\,.$
[/mm]
Für $a [mm] \ge 0\,$ [/mm] ist also [mm] $\IL_{\text{3. Fall}}=\varnothing$.
[/mm]
Nun sei $a [mm] <0\,.$ [/mm] Dann ist (*) gleichwertig mit
> -(x+a)+x-a>2
> [mm]\gdw[/mm] -2a>2
> [mm]\gdw[/mm] a<1
Die letzte Zeile ist falsch, vielmehr ist
$-2a > 2$ [mm] $\iff$ [/mm] $2a < -2$ [mm] $\iff$ [/mm] $a < [mm] -1\,.$
[/mm]
Ich habe jetzt mal Deinen Kommentar gestrichen. Wir haben nun $a < 0$ und sehen,
dass (*)
- im Falle $a [mm] \ge [/mm] -1$ hier für kein x gilt: In diesem Falle ist also [mm] $\IL_{\text{3. Fall}}=\varnothing$
[/mm]
- im Falle $a < -1$ gilt (*) für alle hier betrachteten x, es ist dann also
[mm] $\IL_{\text{3. Fall}}=[a,-a)\,.$
[/mm]
Im Falle $a [mm] \ge [/mm] -1$ ist also [mm] $\IL_{\text{3. Fall}}=\varnothing\,.$
[/mm]
Im Falle $a < -1$ ist [mm] $\IL_{\text{3. Fall}}=[a,-a)\,.$
[/mm]
> Fall4. x+a<0 [mm]\wedge[/mm] x-a<0 [mm]\Rightarrow[/mm] x<-a [mm]\wedge[/mm] x<a
Also voraussetzen willst Du hier $x+a < 0$ und $x-a <0$ bzw. gleichwertig dazu:
$x < -a$ und $x < [mm] a\,.$
[/mm]
In gleichwertiger Weise kann man nun also sagen: Wir betrachten alle x mit
$x < [mm] -|a|\,.$
[/mm]
Für diese ist (*) gleichwertig mit
> -(x+a)-(x-a)>2
> [mm]\gdw[/mm] -2x>2
> [mm]\gdw[/mm] x<1
Achtung: x < -1
> Lösungsmenge wäre ja [mm]\IL[/mm] ( [mm]-\infty[/mm] , 1 )
Ne, denn wir betrachten ja nur alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $x < [mm] -|a|\,.$ [/mm] Also ist nach der Korrektur:
[mm] $\IL_{\text{4. Fall}}=(-\infty,-1) \cap (-\infty,-|a|)\,.$
[/mm]
Also
[mm] $\IL_{\text{4. Fall}}=(-\infty,-1) \cap (-\infty,-|a|)\,.$
[/mm]
So, fassen wir mal zusammen - eventuell mache ich dabei zu viel, aber das
ist ja nicht wirklich schlimm:
Fassen wir das nochmal zusammen:
Für alle $a [mm] \in \IR$ [/mm] ist [mm] $\IL_{\text{1. Fall}}=(1,\infty) \cap [|a|,\infty) [/mm] $.
Für $ a [mm] \le [/mm] 0 $ ist $ [mm] \IL_{\text{2. Fall}}=\varnothing. [/mm] $
Für $ 0 < a [mm] \le [/mm] 1 $ ist $ [mm] \IL_{\text{2. Fall}}=\varnothing [/mm] $.
Für $a > [mm] 1\,$ [/mm] ist $ [mm] \IL_{\text{2. Fall}}=[-a,a)\,. [/mm] $
Im Falle $a [mm] \ge [/mm] -1$ ist also [mm] $\IL_{\text{3. Fall}}=\varnothing\,.$
[/mm]
Im Falle $a < -1$ ist [mm] $\IL_{\text{3. Fall}}=[a,-a)\,.$
[/mm]
Für alle reellen [mm] $a\,$ [/mm] ist $ [mm] \IL_{\text{4. Fall}}=(-\infty,-1) \cap (-\infty,-|a|)\,. [/mm] $
Wir unterscheiden daher nun folgende Fälle:
I) $a < [mm] -1\,$; [/mm]
II) $-1 [mm] \le [/mm] a < 0$;
III) [mm] $a=0\,$; [/mm]
IV) $0 < a [mm] \le [/mm] 1$;
V) $a > 1$.
Stets ist [mm] $\IL=\bigcup_{k=1}^4 \IL_{k\text{. Fall}}$.
[/mm]
Fall I) (a < -1): Hier ist
[mm] $\IL=[|a|,\infty) \cup \varnothing \cup [/mm] [a,-a) [mm] \cup (-\infty,-|a|]\,.$
[/mm]
Sieht mir ziemlich nach [mm] $\IL=\IR$ [/mm] aus. (Abgesehen davon kann man auch
sowas wie -|a|=a schreiben - es ist ja a < 0.)
Fall II) ($-1 [mm] \le [/mm] a < 0$): Hier ist
[mm] $\IL=(1,\infty) \cup \varnothing \cup \varnothing \cup (-\infty,-1)\,.$
[/mm]
Fall III) (a=0): Hier ist
[mm] $\IL=(1,\infty) \cup \varnothing \cup \varnothing \cup (-\infty,-1)\,.$
[/mm]
Fall IV) ($0 < a [mm] \le [/mm] 1$): Hier ist
[mm] $\IL=(1,\infty) \cup \varnothing \cup \varnothing \cup (-\infty,-1)\,.$
[/mm]
Fall V) (a > 1): Hier ist
[mm] $\IL=[|a|,\infty) \cup [/mm] [-a,a) [mm] \cup \varnothing \cup (-\infty,-|a|]\,.$
[/mm]
So, das kannst Du jetzt noch schön zusammenschreiben, und auch sowas
wie $-|a|=-a$ für $a [mm] \ge [/mm] 0$ und $-|a|=a$ für $a < 0$ benützen etc.
Jetzt kann man sich im Nachhinein eigentlich auch mal was überlegen:
Sei
[mm] $f_a(x):=|x+a|+|x-a|-2\,.$
[/mm]
Die Frage, für welche reellen x die Ungleichung gilt, ist äquivalent zu der Frage,
für welche reellen x denn [mm] $f_a(x) [/mm] > 0$ gilt (d.h. der Graph von [mm] $f_a$ [/mm] liegt oberhalb
der x-Achse).
Erstmal ein paar Beobachtungen:
[mm] $f_{-a}(x)=|x+(-a)|+|x-(-a)|-2=|x-a|+|x+a|-2=|x+a|+|x-a|-2=f_a(x)\,.$
[/mm]
Bei den Fallunterscheidungen in [mm] $a\,$ [/mm] hätten wir also bspw. o.E. $a [mm] \ge [/mm] 0$ annehmen
können. Man sieht am Ende in den Lösunsmengen ja auch eine "Symmetrie".
Weiter:
[mm] $f_a(-x)=|-x+a|+|-x-a|-2=...=|x+a|+|x-a|-2=f_a(x)\,.$
[/mm]
Bei festem [mm] $a\,$ [/mm] - erstmal o.E. $a [mm] \ge [/mm] 0$ - hätten wir also auch o.E. bspw. $x [mm] \ge [/mm] 0$
betrachten können.
Was ich übrigens empfehlen kann: Du weißt ja nun, dass jede Funktion
[mm] $f_a$ [/mm] symmetrisch zur y-Achse ist.
Mach' Dir mal klar, wie der Graph
"der Funktion [mm] $f_a(x)$" [/mm] für $x [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] aussieht für
- I.) Den Fall [mm] $a=0\,$;
[/mm]
- II.) Den Fall $0 < a [mm] \le [/mm] 1$;
- III.) Den Fall $a > 1$
Es gilt ja in I.), weil da [mm] $a=0\,$ [/mm] ist
[mm] $f_a(x)=f_0(x)=|x+a|+|x-a|-2=|x+0|+|x-0|-2=2*x-2$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 0$
In II.), wenn o.E. $a > 0$ ist
[mm] $f_a(x)=|x+a|+|x-a|-2=x+a+|x-a|-2=\begin{cases} 2x-2, & \mbox{für } x \ge a \\ 2a-2, & \mbox{für } 0 \le x < a\end{cases}\$
[/mm]
Das kann man sich schön veranschaulichen: Der Graph auf $x [mm] \ge [/mm] 0$ ist das Geradenstück,
dass im Punkte $(0;2a-2)$ startet, dann bis $(a;2a-2)$ geht (per Definitionem
gehört dieser Punkt erstmal nicht zu dem Geradenstück - aber er wird gleich
*dazugeklebt*) und dann haben wir den Strahl, der am Punkt $(a;2a-2)$ startet
und wenn wir dort 1 Einheit nach rechts gehen, müssen wir 2 nach oben gehen,
um zu einem nächsten Punkt des Strahls zu gelangen. Dieser ist natürlich
nichts anderes als der Teil des "Graphen der Geraden y=2x-2", der durch $x [mm] \ge [/mm] a$
definiert wird.
Wenn Du das verstanden hast, solltest Du schnell mit einem Lineal den
Graphen von "der Funktion [mm] $f_a(x)$" [/mm] auf $x [mm] \ge [/mm] 0$ skizzieren können. Sicher
ist nun klar, wie der für [mm] $a=0\,$ [/mm] aussieht.
Falls Dir nicht klar sein sollte, worauf ich hinaus will:
Plotte Dir zunächst mal
[mm] $g(x):=f_0(x)=2*|x|-2\,.$
[/mm]
Jetzt plotte Dir mal
[mm] $f_a(x)$
[/mm]
für [mm] $a=1,2,3\,$. [/mm] Spätestens jetzt solltest Du was sehen! 
P.S. Was lernen wir daraus? Hier haben wir eine Aufgabe, wo man mit
ein paar geometrischen Überlegungen (Wissen über Funktionsgraphen)
eigentlich ziemlich schnell die Lösung hätte hinschreiben können.
Aber auch, wenn man dann dennoch lieber das Ganze zur Sicherheit
rechnen will:
Man erkennt jedenfalls anhand der Graphen, dass man manches o.B.d.A.
annehmen kann. Ich habe das am Ende nur nochmal kurz etwas formal(er)
begründet.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 23.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Erstmal vielen dank für die Ausführliche Lösung. Ich habe nur eigentliche eine Kurze frage.
Ich habe auch mein Fehler mit x<1 auch gesehen und noch geändert gehabt.
Ich habe 2 Lösungsmenge raus, einmal für |a| [mm] \le1 [/mm] und einmal für |a|>1. Diese wären [mm] \IL_{\le1} [/mm] = { [mm] (-\infty,-1)(1,\infty) [/mm] }
und [mm] \IL_{>1}= [/mm] { [mm] (-\infty, \infty) [/mm] }.
Ist es richtig wenn ich dies unterscheidung angebe? oder muss ich beide Lösungen nochzusammen fassen? das wäre ja dann trd noch [mm] \IL= [/mm] { [mm] (-\infty, \infty) [/mm] }.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mo 23.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erstmal vielen dank für die Ausführliche Lösung. Ich
> habe nur eigentliche eine Kurze frage.
>
> Ich habe auch mein Fehler mit x<1 auch gesehen und noch
> geändert gehabt.
>
> Ich habe 2 Lösungsmenge raus, einmal für |a| [mm]\le1[/mm] und
> einmal für |a|>1. Diese wären [mm]\IL_{\le1}[/mm] = [mm] \{(-\infty,-1)(1,\infty)\}
[/mm]
> und [mm]\IL_{>1}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm](-\infty, \infty)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
> Ist es richtig wenn ich dies unterscheidung angebe? oder
> muss ich beide Lösungen nochzusammen fassen? das wäre ja
> dann trd noch [mm]\IL=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm](-\infty, \infty)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
Deinen Notationen sind etwas schrecklich.
(Ist Dir klar, dass $\{(-\infty,-1)(1,\infty)\}$ keinen Sinn macht? Und wenn Du
$\{(-\infty,-1),(1,\infty)\}$
meinst, ist das falsch: Für $r \le s$ ist $[r,s]=\{y \in \IR: r \le y \le s\}$ eine MENGE!
Ebenso $(r,s)$...)
Das, was Du machst, macht für mich keinen Sinn.
Machen wir es doch so: Die Lösungsmenge $\IL$ ist keine, die von $a\,$ unabhängig
ist - also schreiben schreiben wir mal $\IL=\IL(a)\,.$ (Du kannst auch meinetwegen
$\IL_a$ schreiben.)
Es gibt aber nur zwei Lösungsmengen, die wir wirklich zu unterscheiden
haben.
1. Fall: Ist $0 \le |a| \le 1$, so ist
$\IL=\IL(a)=\IR \setminus [-1,1]\,.$
2. Fall: Ist $|a| \ge 1$, so ist
$\IL=\IL(a)=\IR\,.$
Wieso Du nun - vielleicht meinst Du das? - aber
$\bigcup_{a \in \IR} \IL(a)$
bilden willst, weiß ich nicht?!?! Zumal das ja eigentlich die ganze gemachte
Arbeit wieder *verwischt*...
Achja: $\{(-\infty,\infty)\}$ wäre wegen $\IR=(-\infty,\infty)$ die Menge mit dem Element
$\IR$.
Also $x \in \{(-\infty,\infty)\}=\{\IR\}$ gilt genau dann, wenn $x=\IR$.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 23.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Sorry für meine Notationen. Sie sahen in der Vorschau richtig aus.
Ja, ich wollte ausdrücken, dass die Lösungsmenge abhängt von a.
Also einmal von |a| $ [mm] \le1 [/mm] $ . Diese Lösungsmenge ist für micht jetzt [mm] \IL_{1}.
[/mm]
Deine [mm] Aussage\IL_{1}=$ \IL=\IR \setminus [-1,1]\,. [/mm] $
Meine Aussage dazu: [mm] \IL_{1}= [/mm] $ [mm] \{(-\infty,-1),(1,\infty)\} [/mm] $ ist für mich der gleiche Bereich nur meins ist in Intervallschreibweise.
und und dann haben wir nochmal die unterscheidung von |a|>1 jetzt [mm] \IL_{2}.
[/mm]
Deine Aussage:$ [mm] \IL_{2}=\IR [/mm] $
Meine Aussage [mm] \IL_{2}= [/mm] $ [mm] \{(-\infty,\infty)\} [/mm] $
Ist ja wieder das gleiche nur in Intervallschreibweise.
Meine Frage war, ob ich wirklich zwei Lösungsmenge angeben muss, jeweils in abhängigkeit von a. Oder ob man irgendwie die Lösungsmenge zusammen schreiben muss. Du hast sie beantwortet in dem du selbst nochmal sagtes, dass die Lösungsmenge nicht unabhängig von a ist.
Vielen dank an dich, für deine schnelle und ausführliche antwort und an alle anderen die mir Helfen wollten
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mo 23.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry für meine Notationen. Sie sahen in der Vorschau
> richtig aus.
>
> Ja, ich wollte ausdrücken, dass die Lösungsmenge abhängt
> von a.
> Also einmal von |a| [mm]\le1[/mm] . Diese Lösungsmenge ist für
> micht jetzt [mm]\IL_{1}.[/mm]
> Deine [mm]Aussage\IL_{1}=[/mm] [mm]\IL=\IR \setminus [-1,1]\,.[/mm]
> Meine
> Aussage dazu: [mm]\IL_{1}=[/mm] [mm]\{(-\infty,-1),(1,\infty)\}[/mm] ist
> für mich der gleiche Bereich nur meins ist in
> Intervallschreibweise.
Nein: [mm] $M:=\{(-\infty,-1),(1,\infty)\}$ [/mm] ist eine ZWEIELEMENTIGE Menge. Du meinst
[mm] $\IL:=(-\infty,-1) \cup (1,\infty)\,.$ [/mm] (das ist [mm] $=\IR \setminus [/mm] [-1,1]$).
Ich mache Dir mal klar, dass da was gänzlich verschiedenes steht:
Wäre [mm] $M=\IL$, [/mm] so wäre insbesondere jedes $x [mm] \in \IL$ [/mm] auch in [mm] $M\,.$
[/mm]
Aber $-5 [mm] \in \IL$ [/mm] (wegen $-5 < -1$ ist $-5 [mm] \in (-\infty,-1)$), [/mm] jedoch ist $-5 [mm] \notin M\,.$ [/mm] Wäre
entgegen meiner Behauptung doch $-5 [mm] \in [/mm] M$, so wäre nämlich
entweder [mm] $-5=(-\infty,-1)=\{y \in \IR: y < -1\}$
[/mm]
oder aber
[mm] $-5=(1,\infty)=\{y \in \IR: y > 1\}\,.$
[/mm]
Was Du schreiben darfst, das wäre
[mm] $\bigcup\{(-\infty,-1),(1,\infty)\}\,.$
[/mm]
Das macht bei zwei Mengen aber kaum jemand...
> und und dann haben wir nochmal die unterscheidung von
> |a|>1 jetzt [mm]\IL_{2}.[/mm]
> Deine Aussage:[mm] \IL_{2}=\IR[/mm]
> Meine Aussage [mm]\IL_{2}=[/mm]
> [mm]\{(-\infty,\infty)\}[/mm]
>
> Ist ja wieder das gleiche nur in Intervallschreibweise.
Vorsicht: [mm] $\IR=(-\infty,\infty) \not=\{(-\infty,\infty)\}$.
[/mm]
Ob man bei einem einelementigen Mengensystem auch
[mm] $M=\bigcup\{M\}$
[/mm]
schreiben kann, weiß ich gar nicht. Wäre aber analog zu oben. Dennoch
ist dann auch [mm] $\bigcup\{M\}=M$ [/mm] etwas anderes als [mm] $\{M\}$!
[/mm]
> Meine Frage war, ob ich wirklich zwei Lösungsmenge angeben
> muss, jeweils in abhängigkeit von a. Oder ob man irgendwie
> die Lösungsmenge zusammen schreiben muss. Du hast sie
> beantwortet in dem du selbst nochmal sagtes, dass die
> Lösungsmenge nicht unabhängig von a ist.
> Vielen dank an dich, für deine schnelle und ausführliche
> antwort und an alle anderen die mir Helfen wollten
Klar, gerne!
Nebenbei: Schreib' Dir bitte mal die Potenzmenge von
[mm] $\{1,2\}$
[/mm]
hin und mach' Dir klar, dass deren Elemente Mengen sind - diese Potenzmenge
hat also 4 Elemente, die selber wieder Mengen sind.
So ist
[mm] $\{[a,b]\}$
[/mm]
eben auch nur eine einelementige Menge. Das Element
$x [mm] \in \{[a,b]\}$
[/mm]
ist eben [mm] $x=[a,b]=\{y \in \IR: a \le y \le b\}$. [/mm] (Im Falle $a > b$ ist [mm] $x\,$ [/mm] die leere
Menge).
Daher: [mm] $\IL=\{(-\infty,\infty)\}$ [/mm] bedeutet nicht [mm] $\IL=\IR$, [/mm] sondern, dass [mm] $\IL$ [/mm] diejenige
Menge ist, die nur ein Element hat, das eben [mm] $\IR$ [/mm] heißt.
P.S. Ich weiß gar nicht, wofür Du Dich entschuldigt hast? Ich sehe auch
für nichts eine Notwendigkeit dahingehend.
Gruß,
Marcel
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