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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 So 13.11.2016 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen!
Ich möchte zeigen, dass gilt:
[mm]\sum_{k=1}^{6}(-1)^{k+1} \vektor{6 \\ k}\left(1-\frac{k}{6}\right)^n\le 0,5
[/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 13$.
Hätte jemand da einen Tipp für mich?
Hatte erst überlegt, die Summe jeweils zweier Summanden abzuschätzen, aber da komme ich nicht weiter.
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 So 13.11.2016 | | Autor: | abakus |
Ich bin mir sicher, dass die Behauptung falsch ist.
Die hintere Klammer nimmt Werte an, die kleiner als 1 sind. Wenn man das mit einem hinreichend großem n potenziert, geht diese Potenz gegen Null.
Somit wird NICHT für jedes n der Summenwert 0,5 überschritten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 Mo 14.11.2016 | | Autor: | Fry |
Hallo Abakus,
du hast vollkommen Recht, mir ist beim Aufschreiben ein Fehler unterlaufen, es muss "kleiner gleich" 1/2 heißen.
Hätte jemand eine Idee?
Vg
Fry
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Hiho,
[mm] $\left(1-\frac{k}{6}\right)^n$ [/mm] ist offensichtlich fallend in $n$, da [mm] $\left(1-\frac{k}{6}\right) \le [/mm] 1$ für [mm] $k\in\{1,\ldots,6\}$.
[/mm]
Daraus folgt: $ [mm] \sum_{k=1}^{6}(-1)^{k+1} \vektor{6 \\ k}\left(1-\frac{k}{6}\right)^n\le \sum_{k=1}^{6}(-1)^{k+1} \vektor{6 \\ k}\left(1-\frac{k}{6}\right)^{13} [/mm] = [mm] \frac{459299}{944784} [/mm] < 0.5$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mo 14.11.2016 | | Autor: | Fry |
Hey Gono,
vielen Dank für deine Antwort! :)
Was mich noch irritiert ist, dass man diese Abschätzung so machen kann, da ja das Vorzeichen der Summanden alterniert.
VG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Mo 14.11.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
kann man auch gar nicht, das hab ich schlichtweg übersehen 
Ich such mal eine neue Möglichkeit.
Gruß,
Gono
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Hiho,
es geht fast doch so einfach
Man schätzt [mm] $\left(1-\frac{k}{6}\right)^n$ [/mm] in den positiven Summanden nach oben durch [mm] $\left(1-\frac{k}{6}\right)^{14}$ [/mm] und in den negativen nach unten durch 0 ab und erhält:
$ [mm] \sum_{k=1}^{6}(-1)^{k+1} \vektor{6 \\ k}\left(1-\frac{k}{6}\right)^n\le \vektor{6 \\ 1} \left(1-\frac{k}{6}\right)^{14} [/mm] - 0 + [mm] \vektor{6 \\ 3} \left(1-\frac{3}{6}\right)^{14} [/mm] - 0 + [mm] \vektor{6 \\ 5} \left(1-\frac{5}{6}\right)^{14} [/mm] - 0 = [mm] \frac{764932357}{1632586752} [/mm] < 0.5$
Nebenbei: Der letzte Summand für $k=6$ ist sowieso $0$ wegen [mm] $\left(1-\frac{6}{6}\right) [/mm] = 0$
D.h. man hat die Ungleichung für [mm] $n\ge [/mm] 14$ gezeigt.
Für $n=13$ rechnet man wie vorhin einfach nach:
[mm] $\sum_{k=1}^{6}(-1)^{k+1} \vektor{6 \\ k}\left(1-\frac{k}{6}\right)^{13} [/mm] = [mm] \frac{459299}{944784} [/mm] < 0.5 $
D.h. die Ungleichung gilt für $n [mm] \ge [/mm] 13$.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mo 14.11.2016 | | Autor: | Fry |
Stimmt :)
Ach super,
vielen Dank für deine Hilfe! :)
LG
Fry
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