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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Ich habe Problem folgende Aufgabe zu lösen:
Es sei f eine ganze Funktion. Für jedes [mm] z_{0} [/mm] verschwinde zumindest ein Koeffizient in der Potenzreihenentwicklung
f(z) = [mm] \summe_{n \ge 0}^{} c_{n} (z-z_{0})^n [/mm] .
Zeigen sie, dass f ein Polynom ist.
Ich hab zwar schon ein paar Ideen aber der Durchblick fehlt mir bis jetzt noch.
Ich glaube man muss [mm] c_{n} [/mm] n! = f^(n) verwenden und irgendein Abzählbarkeitsargument.
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
mfg
Floyd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Do 13.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
dies ist nur eine idee, die nicht wirklich fertig durchdacht ist, vielleicht hilft sie dir aber
> Ich habe Problem folgende Aufgabe zu lösen:
>
> Es sei f eine ganze Funktion. Für jedes [mm]z_{0}[/mm] verschwinde
> zumindest ein Koeffizient in der Potenzreihenentwicklung
> f(z) = [mm]\summe_{n \ge 0}^{} c_{n} (z-z_{0})^n[/mm] .
> Zeigen sie, dass f ein Polynom ist.
>
> Ich hab zwar schon ein paar Ideen aber der Durchblick fehlt
> mir bis jetzt noch.
> Ich glaube man muss [mm]c_{n}[/mm] n! = f^(n) verwenden und
> irgendein Abzählbarkeitsargument.
betrachte irgendein beliebiges [m] w \in \mathbb{C} [/m]. nun gibt es ein [m] n_0 \in \mathbb{N}_0 [/m], so dass für jedes [m] \varepsilon > 0 [/m] der koeffizient [m] c_{n_0} [/m] in unendlich vielen punkten in der [mm] $\varepsilon$-umgebung [/mm] von $w$verschwindet. dann ist die [mm] $n_0$-ableitung [/mm] der funktion in all diesen punkten $0$ und $w$ ein häufungspunkt der nullstelln der [mm] $n_0$. [/mm] ableitung. somit ist [mm] $f^{(n_0)} \equiv [/mm] 0$, da eine holomorphe funktion, die nicht konstant null ist, nur isolierte nullstellen besitzt.
wie gesagt: ist nur ene idee.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Do 13.01.2005 | | Autor: | Floyd |
f ganze Funktion
f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{ \infty } c_{n} (z-z_{0})^{n}
[/mm]
z.z.: f ist Polynom
[mm] \IC [/mm] ist überabzählbar
[mm] F_{n} [/mm] = { z [mm] \in \IC [/mm] | [mm] c_{n} [/mm] <=> [mm] f^{(n)}(z)=0 [/mm] }
=> [mm] \IC [/mm] = [mm] \bigcup_{i=0}^{\infty } F_{n}
[/mm]
[mm] F_{n} \cap F_{m} [/mm] = [mm] \emptyset \forall [/mm] n [mm] \not= [/mm] m
=> [mm] \exists F_{n} [/mm] : [mm] F_{n} [/mm] überabzählbar
d.h. [mm] f^{(n)} [/mm] hat überabzählbar viele Nullstellen
=> [mm] f^{(n)} [/mm] = 0
=> [mm] f^{(n+k)} [/mm] = 0 k [mm] \in \IN
[/mm]
=> f ist Polynom mit deg(f) [mm] \le [/mm] n
mfg
Floyd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Do 13.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Floyd!
> d.h. [mm]f^{(n)}[/mm] hat überabzählbar viele Nullstellen
> => [mm]f^{(n)}[/mm] = 0
Wie begründest du diesen Schritt genau? Hattet ihr eine solche Aussage in der Vorlesung?
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Do 20.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Hier noch das fehlende Argument nachgetragen:
Da mindestens eine Ableitung [mm] $f^{(n)}(z)$ [/mm] überabzählbar viele Nullstellen besitzen muss, müssen in einem der abzählbar vielen kompakten Mengen [mm] $\{n \le |z| \le n+1\}$ [/mm] überabzählbar viele Nullstellen enthalten sein, die sich zwangsläufig dort häufen. Somit ist [mm] $f^{(n)} \equiv [/mm] 0$, und $f$ ein Polynom.
Liebe Grüße
Stefan
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