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Forum "Analysis-Sonstiges" - Ungleichung
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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:13 Fr 15.05.2009
Autor: DrNetwork

Aufgabe
Lösen von |x-2|+|3x-6|<|x|

|x-2|+|3x-6|<|x|

also mein ansatz war folgender:

x-2=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=2
3x-6=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=2

x<2:

-x+2-3x+6 < |x|
-4x+8 < |x|

x < 0:
-4x+9<-x
9<3x
3<x

x>0:
-4x+9<x
9/5 < x

x>2:
x-2+3x-6<x
4x-8<x
-8<-3x
8/3 > x

das ist meine erste ungleichung im leben :) Wie siehts aus? In Ordnung?, Schreibweise? etc.


        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:00 Fr 15.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Lösen von |x-2|+|3x-6|<|x|
>  |x-2|+|3x-6|<|x|
>  
> also mein ansatz war folgender:
>  
> x-2=0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=2
>  3x-6=0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=2
>  
> x<2:
>  
> -x+2-3x+6 < |x|
>  -4x+8 < |x|
>  
> x < 0:
>  [mm] -4x+\red{9}<-x [/mm]
>  9<3x
>  3<x
>  
> x>0:
>  [mm] -4x+\red{9}
>  9/5 < x
>  
> x>2:
>  x-2+3x-6<x
>  4x-8<x
>  -8<-3x
>  8/3 > x

>  
> das ist meine erste ungleichung im leben :) Wie siehts aus?
> In Ordnung?, Schreibweise? etc.
>  

Hallo,

im Prinzip ist das in Ordnung. An den markierten Stellen ist bloß aus unerfindlichen Gründen aus der 4 eine 9 geworden.

Es ist übrigens  |x-2|+|3x-6|<|x|  <==>  4|x-2| <|x|

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Fr 15.05.2009
Autor: DrNetwork

ah, okey, ja mit der 9 hab ich mich wohl vertan sollte eine 8 sein.

Noch eine Frage und zwar wie interpretiere ich das Ergbnis z.B. Zahlenstrahl oder so? was heissen die ergebnisse und wie schreibt man die Lösungsmenge auf?

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: Lösungsmenge
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Fr 15.05.2009
Autor: weightgainer

Hallo DrNetwork,

wenn du sauber die drei Fälle unterscheidest, für die deine drei (bzw. beiden nach Angelas Vereinfachung) Beträge jeweils unterschiedliche Vorzeichen liefern, dann musst du diese Einschränkung jeweils noch mit deinem berechneten Ergebnis kombinieren.

1. Fall: x>2, Rechnung liefert x < [mm] \bruch{8}{3}, [/mm] d.h. hier sind nur die Zahlen Lösungen, die zwischen 2 und [mm] \bruch{8}{3} [/mm] liegen.

2. Fall: 0<x<2, Rechnung liefert: x > [mm] \bruch{8}{5}, [/mm] d.h. ..... das kannst du jetzt selbst

3. Fall: x<0, Rechnung liefert: x < [mm] \bruch{8}{3}, [/mm] d.h. .... entsprechend.

Zum einen kannst du auf einer Zahlengeraden jetzt die Bereiche markieren, zum anderen kannst du auch formal als Lösungsmenge schreiben: [mm] \IL [/mm] = {x [mm] \in \IR [/mm] | 2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{8}{3} \cup [/mm] ... Lösungsbereich aus 2. Fall  [mm] \cup [/mm] ... Lösungsbereich aus 3. Fall}

Gruß,
weightgainer

Bezug
                                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Fr 15.05.2009
Autor: DrNetwork

[mm] \IL [/mm] = {x [mm] \in \IR [/mm] | 2 < x < [mm] \bruch{8}{3} \cup [/mm] 1.6 < x <2 }

der dritte fall ist ein widerspruch oder?

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung: Bestätigung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Fr 15.05.2009
Autor: weightgainer

Ja, genau. Und den 1. und 2. Teil kann man sogar zu einem Intervall zusammenbauen [mm] (\bruch{8}{5} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{8}{3}). [/mm]

Bezug
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