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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | | zz: | [mm] a*e^a [/mm] - [mm] b*e^b [/mm] | [mm] \le [/mm] 2*e |a-b| [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] [0,1] |
Hallo!
Mir fehlt hier leider jeglicher Ansatz, aber vielleicht hätte wer einen Tipp für mich?
Würde mich freuen!
Mfg Sr
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Hallo Roli,
1) Du könntest das als implizite Funktion nehmen und mal die Ableitungen in dem Bereich untersuchen. Dazu bräuchtest Du allerdings auch mindestens einen Funktionswert, an dem die Relation in Gleichheit übergeht.
2) Noch netter scheint mir, das als Funktion zweier Veränderlicher zu nehmen. Dann kannst Du den Bereich ja auf lokale Maxima untersuchen...
3) Vielleicht hilft Dir auch ein Vergleich von [mm] ae^a [/mm] mit 2ea ? 
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Roli772 |
Ok, dann probier ich das mal.
Was aber meinst du mit Pkt 3?
Danke für deine schnelle Antwort!!
Mfg Sr
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Hallo Roli,
ich habs jetzt mal selbst probiert. Variante 3 ist mit Abstand am einfachsten!
Dazu noch ein paar Tipps:
4) in [0,1] ist [mm] xe^x [/mm] streng monoton steigend
5) Du darfst oBdA annehmen, dass [mm] a\ge{b} [/mm] ist. (Weißt Du warum? In der Begründung kommt das Wort "Weihnachten" nicht vor!)
6) Entferne also Deine Betragsstriche, lege eine kurze Bastelstunde ein, und meditiere den folgenden Plot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann solltest Du schnell fertig sein.
Auf welche Funktion es ankommt, zeigt wohl schon die Wahl des Ausschnitts...
Viel Erfolg!
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Setze $f(x) = [mm] xe^x$
[/mm]
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein t zwischen a und b ( insbesondere t [mm] \in [/mm] [0,1]) mit
$f(b)-f(a) = f'(t)*(b-a)$
Somit: $|f(b)-f(a)| = |f'(t)|*|(b-a)|$
Jetzt bist Du dran
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Di 22.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
hübsche Lösung, könnte sogar noch kürzer werden als meine letzte.
Für die allgemeine Meditation () auch dazu ein Plot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> hübsche Lösung,
Hallo reverend,
meinen Studenten "predige" (das müßte Dir bekannt vorkommen) ich immer:
"hat man die Differenz zweier Funktionswerte vor der Nase, so denke man an den Mittelwertsatz".
Gruß und schöne Feiertage
FRED
> könnte sogar noch kürzer werden als
> meine letzte.
> Für die allgemeine Meditation () auch dazu ein Plot:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Grüße
> reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Di 22.12.2009 | | Autor: | Roli772 |
> Somit: [mm]|f(b)-f(a)| = |f'(t)|*|(b-a)|[/mm]
>
> Jetzt bist Du dran
so, jetzt müsste ich nurnoch |f'(t)| abschätzen mit 2*e, dann wäre ich fertig.
f(t) hatte ja die form [mm] t*e^t, [/mm] wobei t aus (0,1) gewählt war. [mm] f'(t)=t*e^t+e^t, [/mm] also [mm] (t+1)*e^t, [/mm] was sicher [mm] \le [/mm] "t=1" eingesetzt , also 2*e ist.
Damit wäre
| [mm] f(b)-f(a)|\le [/mm] 2*e |b-a| gezeigt.
Richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Somit: [mm]|f(b)-f(a)| = |f'(t)|*|(b-a)|[/mm]
> >
> > Jetzt bist Du dran
>
> so, jetzt müsste ich nurnoch |f'(t)| abschätzen mit 2*e,
> dann wäre ich fertig.
> f(t) hatte ja die form [mm]t*e^t,[/mm] wobei t aus (0,1) gewählt
> war. [mm]f'(t)=t*e^t+e^t,[/mm] also [mm](t+1)*e^t,[/mm] was sicher [mm]\le[/mm] "t=1"
> eingesetzt , also 2*e ist.
Na ja. Ich denke Du meinst das richtige. Es ist t [mm] \in [/mm] [0,1], also
$|f'(t)| = f'(t) = [mm] (t+1)e^t \le (1+1)e^1=2e$
[/mm]
FRED
> Damit wäre
> | [mm]f(b)-f(a)|\le[/mm] 2*e |b-a| gezeigt.
>
> Richtig so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Di 22.12.2009 | | Autor: | Roli772 |
ja genau.
Ok super danke für die Hilfe!
Danke auch reverend für die Mühe und die graphen!!
Mfg Sr
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