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Forum "Analysis des R1" - Ungleichung
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Ungleichung: es fehlt mir nichts ein
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Mi 04.05.2011
Autor: strangelet

Aufgabe
Sei $r>1$. Zeigen Sie, dass konstante $C>0$ existiert so dass für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $(1+x^2)^{\frac{r-2}{2}} \le C(1+x)^{r-2}$ [/mm]

Bin bei dieser Ungleichung stecken geblieben. Kann mir bitte jemand helfen? Tipp oder so... Danke

        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Mi 04.05.2011
Autor: reverend

Hallo strangelet,

nette Aufgabe. Da muss man ständig wg. des Relationszeichens aufpassen.

> Sei [mm]r>1[/mm]. Zeigen Sie, dass konstante [mm]C>0[/mm] existiert so dass
> für alle [mm]x \ge 0[/mm] gilt:
>  [mm](1+x^2)^{\frac{r-2}{2}} \le C(1+x)^{r-2}[/mm]

Schau doch mal nach, ob unter den gegebenen Bedingungen die folgende Darstellung äquivalent zu der zu zeigenden Ungleichung ist:

[mm] \left(\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\right)^{r-2}\le C^2 [/mm]

>  Bin bei dieser
> Ungleichung stecken geblieben. Kann mir bitte jemand
> helfen? Tipp oder so... Danke

Von hier aus ist es nicht mehr weit.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Mi 04.05.2011
Autor: strangelet

Hallo reverend,

DANKE!!! :)

dass man es so umschreiben kann, ist mir einfach nicht eingefallen :)
Äquivalent ist es und man muss also nur noch zeigen, dass

$ [mm] \bruch{1+x^2}{(1+x)^2}$ [/mm] beschränkt ist, aber es gilt

[mm] $(1+x)^2 \leq 1^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] = 1 + [mm] x^2 \leq 1+(1+x)^2$ [/mm] wenn [mm] $x\ge0$ [/mm]

und damit

$ [mm] 1\leq \bruch{1+x^2}{(1+x)^2} \leq \bruch{1}{(1+x)^2}+1 \leq [/mm] 2$

Hoffentlich richtig :]

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Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Mi 04.05.2011
Autor: reverend

Hallo nochmal,

na, noch nicht ganz.

> dass man es so umschreiben kann, ist mir einfach nicht
> eingefallen :)
>  Äquivalent ist es

Ja. Alle Terme sind positiv. Also ändert weder die Division noch das Quadrieren etwas an der Richtung der Relation.

> und man muss also nur noch zeigen, dass
>
> [mm]\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}[/mm] beschränkt ist,

Für [mm] r\ge{2} [/mm] genügt das in der Tat. Für 1<r<2, was ja auch zugelassen ist, genügt das nicht automatisch. Denk mal drüber nach. Ansonsten: siehe unten.

> aber es gilt
>  
> [mm](1+x)^2 \red{\leq} 1^2 + x^2 = 1 + x^2 \leq 1+(1+x)^2[/mm] wenn [mm]x\ge0[/mm]

Die erste Relation stimmt definitiv nicht. Es ist für [mm] x\ge0 [/mm]

[mm] 0<1+x^2\le 1+2x+x^2=(1+x)^2 [/mm]

> und damit
>
> [mm]1\leq \bruch{1+x^2}{(1+x)^2} \leq \bruch{1}{(1+x)^2}+1 \leq 2[/mm]

>

> Hoffentlich richtig :]

Nein, das stimmt dann auch nicht. Es gilt

[mm] 0<\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\le{1} [/mm]

Außerdem ist [mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}=0 [/mm]

Jetzt betrachte mal die zu zeigende Relation für 1<r<2.
(Mit anderen Worten: die ursprüngliche Behauptung ist falsch, lässt sich aber retten, wenn man r weiter einschränkt.)

Grüße
reverend


Bezug
                                
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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Do 05.05.2011
Autor: strangelet

Hallo reverend,

ups, sorry. Ich sollte besser aufpassen, bevor ich was schreibe..danke für deine Geduld.
Also, die Ungleichung stimmt dann für 1<r<2 wohl nicht.
weil

[mm]\lim_{x\to\infty} \left(\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\right)^{r-2} = \lim_{x\to\infty} \bruch{1}{\left(\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\right)^{2-r}} = \infty[/mm]

und die linke Seite ist somit nicht beschränkt von einer Konstante.

Wenn das so ist, dann ist es aber unschön.

Wollte damit zeigen, dass

$|S(D)| [mm] \leq [/mm] C (1 + [mm] |D|)^{r-1}$ [/mm]

wo

$S(D) = [mm] \big(1 [/mm] + [mm] |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}D$ [/mm]

und S, D matrizen sind, für alle r>1 gilt, was angeblich gelten sollte.

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Do 05.05.2011
Autor: reverend

Hallo strangelet,

oh, das ist wohl etwas anderes.

>  Also, die Ungleichung stimmt dann für 1<r<2 wohl nicht, weil
>
> [mm]\lim_{x\to\infty} \left(\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\right)^{r-2} = \lim_{x\to\infty} \bruch{1}{\left(\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\right)^{2-r}} = \infty[/mm]
>  
> und die linke Seite ist somit nicht beschränkt von einer
> Konstante.

Korrekt. [ok]

> Wenn das so ist, dann ist es aber unschön.
>  
> Wollte damit zeigen, dass
>  
> [mm]|S(D)| \leq C (1 + |D|)^{r-1}[/mm]

Stimmt hier der Exponent r-1 ?

> wo
>  
> [mm]S(D) = \big(1 + |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}D[/mm]
>  
> und S, D matrizen sind, für alle r>1 gilt, was angeblich
> gelten sollte.

Rechne doch $ |S(D)| $ nochmal nach. ;-)

Grüße
reverend


Bezug
                                                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Fr 06.05.2011
Autor: strangelet

Hallo :)

na ja, also $|S(D)|$ ist dann

$ |S(D)| = [mm] \left| \big(1 + |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}D \right| [/mm] = [mm] \big(1 [/mm] + [mm] |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}|D| [/mm] $ oder? :]

Ich habe jetzt noch darüber nachgedacht und alles nochmal durchgegangen und habe festgestellt, dass

$ [mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}=1 [/mm] $ ist und nicht 0.


[mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}= \lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{1+2x+x^2}= \lim_{x\to\infty}\bruch{\bruch{1}{x^2}+1}{\bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{x}+1} = \bruch{\lim_{x\to\infty} \bruch{1}{x^2}+1 }{\lim_{x\to\infty} \bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{x}+1} = \bruch{1}{1} [/mm]

und auch

$ [mm] \lim_{x\to 0+}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}=1 [/mm] $

Die Funktion hat ein Minimum 1/2 für x=1 und damit gilt dann die ursprüngliche Ungleichung wohl auch für 1<r<2.

Ich hoffe, dass ich jetzt nichts übersehen habe.

strangelet



Bezug
                                                        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Fr 06.05.2011
Autor: fred97


> Hallo :)
>  
> na ja, also [mm]|S(D)|[/mm] ist dann
>  
> [mm]|S(D)| = \left| \big(1 + |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}D \right| = \big(1 + |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}|D|[/mm]
> oder? :]
>  
> Ich habe jetzt noch darüber nachgedacht und alles nochmal
> durchgegangen und habe festgestellt, dass
>  
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}=1[/mm] ist und nicht 0.
>  
>
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}= \lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{1+2x+x^2}= \lim_{x\to\infty}\bruch{\bruch{1}{x^2}+1}{\bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{x}+1} = \bruch{\lim_{x\to\infty} \bruch{1}{x^2}+1 }{\lim_{x\to\infty} \bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{x}+1} = \bruch{1}{1}[/mm]
>  
> und auch
>  
> [mm]\lim_{x\to 0+}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}=1[/mm]
>  
> Die Funktion hat ein Minimum 1/2 für x=1 und damit gilt
> dann die ursprüngliche Ungleichung wohl auch für 1<r<2.
>  
> Ich hoffe, dass ich jetzt nichts übersehen habe.

Hast Du nicht.

Es geht aber einfacher:

Setze $f(x):= [mm] (\bruch{1+x^2}{(1+x)^2})^{r-2}$ [/mm]

Dann haben wir: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=1. [/mm] Somit gibt es ein [mm] x_0>0 [/mm] mit

               [mm] f(x)\le [/mm] 2 für [mm] x>x_0 [/mm]

Im kompakten Intervall [mm] [0,x_0] [/mm] ist die stetige Funktion f beschränkt, es gibt also ein M [mm] \ge [/mm] 0 mit

            f(x) [mm] \le [/mm] M für x [mm] \in [0,x_0] [/mm]

Setze nun $c:= [mm] max\{2,M\}$ [/mm] und [mm] C:=\wurzel{c} [/mm]

Dann leistet C das Gewünschte.

FRED

>  
> strangelet
>  
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:00 Fr 06.05.2011
Autor: strangelet

Hallo Fred,

danke für die Antwort. Bin froh, dass die Ungleichung jetzt doch gilt :)

strangelet

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