Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Di 10.05.2011 | | Autor: | noname2k |
| Aufgabe | | $ [mm] \bruch{1}{3}<\bruch{3-x}{x+1}<1 [/mm] $ |
Hallo,
ich habe die Aufgabe einmal in $ [mm] \bruch{1}{3}<\bruch{3-x}{x+1} [/mm] $ und $ [mm] \bruch{3-x}{x+1}<1 [/mm] $ geteilt. Dann hab ich jeweils die beiden Fälle x<-1 und x>-1 betrachtet.
Bei $ [mm] \bruch{1}{3}<\bruch{3-x}{x+1} [/mm] $ komm ich jeweils auf x>2 und x<2, bei $ [mm] \bruch{3-x}{x+1}<1 [/mm] $ auf x<1 und x>1.
Das korrekte Ergebnis lautet 1<x<2. Wie komme ich nun darauf? Bin ich falsch an die Aufgabe rangegangen bzw. was muss ich noch machen?
Schonmal danke für Tipps.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Di 10.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
am besten ist es immer, wenn du deinen Lösungswege hier schreibst.
Du schreibst zum Beispiel hier:
> [mm] \bruch{3-x}{x+1}<1 [/mm] auf [mm]x<1[/mm] und [mm]x>1[/mm]
Du behauptest also, die Ungleichung [mm]\bruch{3-x}{x+1}<1[/mm] gilt für [mm]x<1[/mm]. Das würde bedeuten, die Ungleichung gilt auch für [mm]x=0<1[/mm]. Stimmt das denn? Setze mal x=0 ein. Was merkst du?
Das du erst einmal beide Teile getrennt betrachtest, ist in Ordnung.
Zeige uns mal in beiden Fällen deine Umformungsschritte, denn das
> Bei [mm] \bruch{1}{3}<\bruch{3-x}{x+1} [/mm] komm ich jeweils auf [mm]x>2[/mm] und [mm]x<2[/mm]
kann auch nicht ganz stimmen.
Auch hier scheinst du zu einem falschen Schluss gekommen zu sein. Setze doch mal x=3 ein. Das ist bekanntlich größer 2 - stimmt diese Ungleichung dann noch?
Also, ran an die Arbeit ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 10.05.2011 | | Autor: | noname2k |
> Hi,
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> am besten ist es immer, wenn du deinen Lösungswege hier
> schreibst.
>
> Du schreibst zum Beispiel hier:
>
> > [mm]\bruch{3-x}{x+1}<1[/mm] auf [mm]x<1[/mm] und [mm]x>1[/mm]
>
> Du behauptest also, die Ungleichung [mm]\bruch{3-x}{x+1}<1[/mm] gilt
> für [mm]x<1[/mm]. Das würde bedeuten, die Ungleichung gilt auch
> für [mm]x=0<1[/mm]. Stimmt das denn? Setze mal x=0 ein. Was merkst
> du?
[mm] $\bruch{3-x}{x+1}<1$
[/mm]
für x<-1
$ 3-x>x+1 $ (Relation umgedreht da x+1 negativ wird) [mm] $\Rightarrow [/mm] -2x>-2 [mm] \Rightarrow [/mm] x<1 $
für x>-1
$ 3-x<x+1 [mm] \Rightarrow [/mm] -2x<-2 [mm] \Rightarrow [/mm] x>1$
$ [mm] \bruch{1}{3}<\bruch{3-x}{x+1} [/mm] $
für x<-1
[mm] $\bruch{x+1}{3}>3-x [/mm] $ (Relation umgedreht da x+1 negativ wird) [mm] $\Rightarrow [/mm] x+1>9-3x [mm] \Rightarrow [/mm] 4x>8 [mm] \Rightarrow [/mm] x>2 $
für x>-1
[mm] $\bruch{x+1}{3}>3-x \Rightarrow [/mm] x+1<9-3x [mm] \Rightarrow [/mm] 4x<8 [mm] \Rightarrow [/mm] x<2$
Das es für x<1 und x>2 nicht stimmt hatte ich auch schon gemerkt aber ich weiß nicht wie ich die nun auschliessen kann ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Di 10.05.2011 | | Autor: | barsch |
Halloooo,
> [mm]\bruch{3-x}{x+1}<1[/mm]
>
> für x<-1
was ist das? Du machst hier schon eine Fallunterscheidung. Das ist hier nicht korrekt. Du willst ja erst einmal die x finden, für die das gilt. Du setzt aber schon voraus, dass die Ungleichung für [mm]x<-1[/mm] gilt. Das geht nicht.
Nimm doch einfach:
[mm]\bruch{3-x}{x+1}<1[/mm] und forme das so um, das du x auf einer Seite stehen hast:
[mm]\bruch{3-x}{x+1}<1\gdw{3-x
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 10.05.2011 | | Autor: | noname2k |
> Halloooo,
>
>
> > [mm]\bruch{3-x}{x+1}<1[/mm]
> >
> > für x<-1
>
> was ist das? Du machst hier schon eine Fallunterscheidung.
> Das ist hier nicht korrekt. Du willst ja erst einmal die x
> finden, für die das gilt. Du setzt aber schon voraus, dass
> die Ungleichung für [mm]x<-1[/mm] gilt. Das geht nicht.
>
> Nimm doch einfach:
>
> [mm]\bruch{3-x}{x+1}<1[/mm] und forme das so um, das du x auf einer
> Seite stehen hast:
>
> [mm]\bruch{3-x}{x+1}<1\gdw{3-x
>
> Gruß
> barsch
>
$ [mm] \bruch{3-x}{x+1}<1\gdw{3-x1} [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{3}<\bruch{3-x}{x+1}\gdw{\bruch{x+1}{3}<3-x}\gdw{x+1<9-3x}\gdw{-8<-4x}\gdw{x<2} [/mm] $
Und wie gehts dann weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Di 10.05.2011 | | Autor: | barsch |
Naja,
jetzt musst du die beiden getrennten Ungleichungen wieder "zusammenfügen". Du weißt, die eine Ungleichung gilt für [mm]x>1[/mm], die andere für $x<2$. Jetzt sind also die x gesucht, für die beide Ungleichungen gleichzeit gelten...
Und so kommst du dann eben auf .....
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> Halloooo,
>
>
> > [mm]\bruch{3-x}{x+1}<1[/mm]
> >
> > für x<-1
>
> was ist das? Du machst hier schon eine Fallunterscheidung.
> Das ist hier nicht korrekt. Du willst ja erst einmal die x
> finden, für die das gilt. Du setzt aber schon voraus, dass
> die Ungleichung für [mm]x<-1[/mm] gilt. Das geht nicht.
Hallo,
doch, das, was noname2k tut, ist richtig.
Er möchte wissen, für welche x die Ungleichung $ [mm] \bruch{3-x}{x+1}<1 [/mm] $richtig ist.
Dafür macht er äquivalente Umformungen.
Damit diese Umformungen richtig sind, muß man Fallunterscheidungen machen.
Es ist[mm]\bruch{3-x}{x+1}<1\gdw\begin{cases} 3-x-1 \\
3-x>x+1, & \mbox{fuer } x<-1\end{cases}[/mm].
Und nun innerhalb der Fallunterscheidungen weiter umformen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Di 10.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo angela,
vielen Dank fürs Korrekturlesen und ein ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") an noname2k.
Viele Grüße
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Di 10.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
dann hoffe ich mit diesem Post, meinen Fauxpas wieder wett machen zu können.
> [mm]\bruch{3-x}{x+1}<1[/mm]
>
> für x<-1
> [mm]3-x>x+1[/mm] (Relation umgedreht da x+1 negativ wird)
> [mm]\Rightarrow -2x>-2 \Rightarrow x<1[/mm]
du betrachtest den Fall [mm]x<-1[/mm] und erhälst dann [mm]x<1[/mm]. Das ist ein Widerspruch, da [mm]1\not<-1[/mm]. Deswegen ist [mm]x<1[/mm] keine Lösung.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 10.05.2011 | | Autor: | noname2k |
> Hi,
>
> dann hoffe ich mit diesem Post, meinen Fauxpas wieder wett
> machen zu können.
>
> > [mm]\bruch{3-x}{x+1}<1[/mm]
> >
> > für x<-1
> > [mm]3-x>x+1[/mm] (Relation umgedreht da x+1 negativ wird)
> > [mm]\Rightarrow -2x>-2 \Rightarrow x<1[/mm]
>
> du betrachtest den Fall [mm]x<-1[/mm] und erhälst dann [mm]x<1[/mm]. Das ist
> ein Widerspruch, da [mm]1\not<-1[/mm]. Deswegen ist [mm]x<1[/mm] keine
> Lösung.
>
> Gruß
> barsch
>
Ich nehme die Rechnungen von vorhin.
Für $ [mm] \bruch{3-x}{x+1}<1 [/mm] $
Fall ist x<-1 und x<1 kommt raus [mm] \Rightarrow 1\not<-1
[/mm]
Fall ist x>-1 und x>1 kommt raus [mm] \Rightarrow [/mm] 1>-1
Für $ [mm] \bruch{1}{3}<\bruch{3-x}{x+1} [/mm] $
Fall ist x<-1 und x>2 kommt raus [mm] \Rightarrow [/mm] 2>-1
Fall ist x>-1 und x<2 kommt raus [mm] \Rightarrow 2\not<-1
[/mm]
Aber das stimmt ja nicht. Es müsste ja 1<x<2 rauskommen. So komm ich ja auf $ [mm] x>1\wedge [/mm] x>2 $ :(
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Hallo
du untersuchst
[mm] \bruch{3-x}{x+1}<1
[/mm]
1. Fall: aus x+1>0 folgt x>-1
3-x<x+1
x>1
aus x>-1 und x>1 folgt x>1
2. Fall: aus x+1<0 folgt x<-1
3-x>x+1
x<1
aus aus x<-1 und x<1 folgt x<-1
du untersuchst
[mm] \bruch{1}{3}<\bruch{3-x}{x+1}
[/mm]
1. Fall: aus x+1>0 folgt x>-1
x+1<9-3x
-8<-4x
x<2
aus x>-1 und x<2 folgt -1<x<2
2. Fall: aus x+1<0 folgt x<-1
x+1>9-3x
-8>-4x
x>2
aus x<-1 und x>2 folgt Widerspruch
Nun solltest du die Lösungsmenge erkennen
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Di 10.05.2011 | | Autor: | noname2k |
Ok, vielen Dank. Die Fallunterscheidungen hatte ich ja alle, aber habe sie falsch interpretiert. Wünsche Euch noch einen schönen Abend.
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