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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Ungleichung:
3+2x [mm] \le \bruch{3}{2-x} [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde,
ich wusste leider nicht wo ich die Frage unterbringen sollte, da die ich das Unterforum dafür nicht gefunden hatte :(
Auf jedenfall muss man ja *(2-x) bei dieser Gleichung machen, damit man den Bruch los ist. Dabei muss man ja eine Fallunterscheidung machen:
2>x und 2<x
2>x [mm] \wedge [/mm] 3+2*(2-x) [mm] \le [/mm] 3 [mm] \vee [/mm] 2<x [mm] \wedge [/mm] 3+2x*(2-x) [mm] \ge [/mm] 3
[mm] \gdw [/mm] 2>x [mm] \wedge -2x^{2}-x+3 \le [/mm] 0 [mm] \vee [/mm] 2<x [mm] \wedge -2x^{2}-x+3 \ge [/mm] 0
mit der P/Q formel kriege ich dann x1= [mm] \bruch{3}{2} [/mm] und x2=-1
Ich weiss nur, dass dass die Gleichung richtig ist wenn x größer als 3/2 und kleiner als -1 ist, für die zweite Gleichung gilt das umgekehrte und jetzt weiss ich nicht weiter.
Gruß
Fatih
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Sa 02.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Lösungen sind korrekt.
Betrachten wir jetzt die Voraussetzung x<2, dann bekomme ich als Lösungsmenge der Ungleichung [mm] \IL=\left\{x\in\IR|x\geq\frac{3}{2}\vee x\leq-1\right\} [/mm]
Für die Gesamtlösung dieses Falles betrachte nun mal die Schnittmenge der Voraaussetzung mit der Lösungsmenge.
Das ergibt hier:
[mm] \left\{x\in\IR|x<2\right\}\cup\left\{x\in\IR|x\geq\frac{3}{2}\vee x\leq-1\right\}[/mm]
[mm] =\left\{x\in\IR|x<2\right\}\cap\left\{x\in\IR|x\geq\frac{3}{2}\right\}\cup\left\{x\in\IR|x<2\right\}\cap\left\{x\in\IR|x\leq-1\right\}[/mm]
[mm]=\left\{x|\frac{3}{2}\leq x<2\right\}}\cup\left\{x|x\leq-1\right\}} [/mm]
Versuche jetzt mal den Fall x>2 genauso zu bearbeiten.
Die Vereinigung beider "Falllösungen" ist dann deine Gesamte Lösungsmenge.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Also mein Hauptproblem ist eigentlich, wie man nach der P/Q FOrmel darauf kommt, dass x [mm] \ge \bruch{3}{2} [/mm] und -1 [mm] \ge [/mm] x ist.
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Hallo Fatih17,
> Also mein Hauptproblem ist eigentlich, wie man nach der P/Q
> FOrmel darauf kommt, dass x [mm]\ge \bruch{3}{2}[/mm] und -1 [mm]\ge[/mm] x
> ist.
Die Ungleichung lautet doch:
[mm]-2x^{2}-x+3 \le 0[/mm]
Wird die quadratischen Gleichung in ihre Linearfaktoren zerlegt,
so steht dann da:
[mm]\left(-2\right)*\left(x+1\right)*\left(x-\bruch{3}{2}\right) \le 0[/mm]
Dies ist dann äquivalent mit:
[mm]\left(x+1\right)*\left(x-\bruch{3}{2}\right) \ge 0[/mm]
Das ergibt dann zwei Fälle:
i) [mm]x+1 \ge 0 \wedge \ x-\bruch{3}{2} \ge 0[/mm]
ii) [mm]x+1 \le 0 \wedge \ x-\bruch{3}{2} \le 0[/mm]
Hieraus folgt dann die Lösungsmenge.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Ja aber macht man das nicht per P/Q Formel? Wie sieht man das denn nachdem man es mit der P/Q Formel umgestellt hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Sa 02.07.2011 | | Autor: | FMX87 |
> Ja aber macht man das nicht per P/Q Formel? Wie sieht man
> das denn nachdem man es mit der P/Q Formel umgestellt hat?
Du berechnest dir doch dadurch die Nullstellen einer Parabel.
Je nachdem ob sie nach oben bzw. nach unten geöffnet ist, kannst du dann den schluss über die Lösungsmenge ziehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 So 03.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Alles klar,
also muss gelten:
[mm] x\ge \bruch{3}{2} [/mm] und x [mm] \le [/mm] -1
ich weiss dann aber nicht wie die in der Musterlösung auf folgendes Ergebnis kommen:
[mm] [-\infty,-1] \cup [\bruch{3}{2}, [/mm] 2]
1.Frage:
Im zweiten Fall gilt doch:
[mm] x\ge \bruch{3}{2} [/mm] und x [mm] \le [/mm] -1
garnicht mehr, weil das größergleich Zeichen verkehrt ist !? Da gilt doch genau das Gegenteil oder?
2. Frage:
wie kommt er auf die 2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 So 03.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Du hast doch die Ungleichung:
$ 3+2x\le\bruch{3}{2-x} $
Die Fallunterscheidung ist x>2 und x<2.
Fall 1: x<2
$ 3+2x\le\bruch{3}{2-x} $
$ \Leftrightarrow(3+2x)(2-x)\ge3 $
Das ergibt, wie ich in der ersten Antwort schon geschireben habe, die Teillössung für Fall 1:
$ =\left\{x|\frac{3}{2}\leq x<2\right\}}\cup\left\{x|x\leq-1\right\}} $
In Intervallschreibweise ist das dann genau die Musterlösung.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 03.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Okay das habe ich jetzt verstanden und was ist mit Fall 2? Also x>2 passiert? Da muss ich doch auch etwas beachten oder brauch ich nur den Fall1 ?
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Hallo Fatih17,
> Okay das habe ich jetzt verstanden und was ist mit Fall 2?
> Also x>2 passiert? Da muss ich doch auch etwas beachten
> oder brauch ich nur den Fall1 ?
Fall 2 brauchst Du natürlich auch.
Hier ist zu beachten, daß der Nenner 2-x kleiner 0 wird.
Die rechte Seite kann dann so geschrieben werden:
[mm]\bruch{3}{2-x}=\bruch{3}{2-x}*\bruch{-1}{-1}=\bruch{-3}{x-2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 So 03.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Okay also beim zweiten habe ich folgendes raus:
2<x und x [mm] \le \bruch{3}{2} [/mm] und x [mm] \ge [/mm] -1
richtig?
Wenn ja dann steht das doch total im widerspruch, oder?
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Hallo Fatih17,
> Okay also beim zweiten habe ich folgendes raus:
>
> 2<x und x [mm]\le \bruch{3}{2}[/mm] und x [mm]\ge[/mm] -1
>
> richtig?
>
Ja.
> Wenn ja dann steht das doch total im widerspruch, oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 03.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Müsste es denn nicht zwei Lösungen geben? Einmal für den Fall x>2 und x<2 und nicht nur eine?
Tut mir leid ich bin im moment etwas verwirrt :(
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Hallo Fatih17,
> Müsste es denn nicht zwei Lösungen geben? Einmal für den
> Fall x>2 und x<2 und nicht nur eine?
>
Ob es im Fall x > 2 eine Lösung gibt,
kannst Du herausfinden, indem Du
die Bedingungen, die Du heraus hast,
vereinbaren lassen.
> Tut mir leid ich bin im moment etwas verwirrt :(
Gruss
MathePower
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