Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Do 28.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Also, ich werde mich nachher oder morgen noch mit euren anderen Antworten beschäftigen, aber vorerst bin ich zum nächsten Thema übergegangen. Es ging um die Wurzelberechnung durch ein bestimmtes Verfahren und danach sollte folgende Aufgabe gelöst werden:
[mm] a\ge [/mm] 0, [mm] b\ge [/mm] 0
[mm] \wurzel{ab}\le\bruch{1}{2}(a+b)
[/mm]
Nun habe ich das ganz einfach so gemacht:
ich zeige: [mm] \bruch{1}{2}(a+b)-\wurzel{ab}\ge [/mm] 0
[mm] (\bruch{1}{2}(a+b)-\wurzel{ab})^2=\bruch{1}{4}(a^2+2ab+b^2-4ab) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(a^2+b^2-2ab) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(a-b)^2 [/mm] und ein Quadrat ist immer [mm] \ge [/mm] 0 womit die Ungleichung bewiesen ist. Oder nicht?
Ich frage mich nur, warum die Aufgabe ausgerechnet in diesem Kapitel steht, nur, weil dort eine Wurzel vorkommt? Oder sollte man das noch irgendwie anders beweisen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Do 28.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
Deine Umformungen kann ich nicht nachvollziehen. Du darfst nicht Quadrieren und gültige resultierende, wenn auch im Anschluss daran durch äquivalente Umformungen erzielte Ungleichungen als hinreichend für die Gültigkeit der Ursprungsungleuichung verwenden, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, solange beide Seiten nicht positiv sind - das genau weißt du aber nicht, daher ist dieser Schritt hier nicht "erlaubt" bzw. nicht sinnvoll.
Es geht allerdings auch so sehr einfach. Bekanntlich gilt [mm] $(x-y)^2\geq 0\gdw x^2+y^2\geq [/mm] 2xy$. Setze [mm] $x=\sqrt{x'}, y=\sqrt{y'}$, [/mm] dann erhalten wir auf einen Schlag [mm] $x'+y'\geq 2\sqrt{x'y'}\gdw \frac{x'+y'}{2}\geq \sqrt{x'y'}$ [/mm] für alle reellen $x',y'$.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hanno!
Erstmal noch etwas verspätet: danke für deine Antwort! 
> Deine Umformungen kann ich nicht nachvollziehen. Du darfst
> nicht Quadrieren und gültige resultierende, wenn auch im
> Anschluss daran durch äquivalente Umformungen erzielte
> Ungleichungen als hinreichend für die Gültigkeit der
> Ursprungsungleuichung verwenden, da Quadrieren keine
> Äquivalenzumformung ist, solange beide Seiten nicht positiv
> sind - das genau weißt du aber nicht, daher ist dieser
> Schritt hier nicht "erlaubt" bzw. nicht sinnvoll.
Ja, du hast natürlich Recht - ich weiß auch nicht, was ich da gemacht hatte... War wohl zu viel Mathe an einem Tag. 
> Es geht allerdings auch so sehr einfach. Bekanntlich gilt
> [mm](x-y)^2\geq 0\gdw x^2+y^2\geq 2xy[/mm]. Setze [mm]x=\sqrt{x'}, y=\sqrt{y'}[/mm],
> dann erhalten wir auf einen Schlag [mm]x'+y'\geq 2\sqrt{x'y'}\gdw \frac{x'+y'}{2}\geq \sqrt{x'y'}[/mm]
> für alle reellen [mm]x',y'[/mm].
Allerdings verstehe ich hier nicht so ganz, warum du x' und y' einführst. Ich hätte es jetzt mal so gemacht:
da [mm] (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\ge [/mm] 0 und deswegen auch [mm] a^2+b^2\ge [/mm] 2ab folgt
[mm] (a+b)^2=a^2+b^2+2ab\ge [/mm] 4ab [mm] \gdw \bruch{(a+b)^2}{4}\ge [/mm] ab [mm] \gdw \bruch{a+b}{2}\ge\wurzel{ab}
[/mm]
Ist da irgendwas falsch bei?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
Nein, das ist alles in Ordnung und richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße,
Hanno
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![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
