Ungleichung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Do 26.01.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Ich schaue mir einen Beweis an und verstehe folgende Ungleichung nicht, obwohl sie total trivial aussieht.
$$ [mm] \sum_{n\ge 1} \mathbf1\{n\le f(x)\} \le [/mm] f(x) $$
Wieso gilt dies?
Dankeschööööön
hula
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Hallo,
um welchen Beweis handelt es sich denn? Bist du dir sicher, dass der Term so aussieht? Keine obere Grenze? etc...
Bisschen mehr Informationen bitte, vorallem WAS du nicht verstehst.
LG Scherzkrapferl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Do 26.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallöchen
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> Ich schaue mir einen Beweis an und verstehe folgende
> Ungleichung nicht, obwohl sie total trivial aussieht.
>
> [mm]\sum_{n\ge 1} \mathbf1\{n\le f(x)\} \le f(x)[/mm]
das folgt folgendermaßen - jedenfalls wenn $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ stets gilt:
Wenn [mm] $N:=[f(x)]\,$ [/mm] die größte ganze Zahl [mm] $\le [/mm] f(x)$ ist [mm] ($[f(x)]\,$ [/mm] ist also die "Gaußklammer von [mm] $f(x)\,$), [/mm] so gilt ja $N=[f(x)] [mm] \le [/mm] f(x) < [mm] N+1\,,$ [/mm] insbesondere
[mm] $$N=\sum_{k=1}^{N}1 \le f(x)\,.$$
[/mm]
Oben ist das ganze nur ein wenig anders aufgeschrieben. Ist Dir das klar?
(Für jede Zahl $k [mm] \in \{1,...,N\}$ [/mm] ist ja $1= [mm] \mathbf1_{\{k\le N\}}= \mathbf1_{\{k\le f(x)\}}\,.$ [/mm] Wobei mir diese Notation ein wenig fremd/komisch vorkommt. Aber anscheinend ist $ [mm] \mathbf1_{\{k\le N\}}=1_{(0,N]}(k)\,,$ [/mm] wobei per Definitionem [mm] $1_{(0,N]}(k)=1$ [/mm] ist, falls unser natürliches $k$ erfüllt $0 < k [mm] \le [/mm] N$ und [mm] $1_{(0,N]}(k)=1\,,$ [/mm] falls $k [mm] \notin (0,N]\,,$ [/mm] also für $k > N$ (beachte $k [mm] \in \IN$)).
[/mm]
P.S.:
An jeder Stelle [mm] $x\,$ [/mm] mit $f(x) < [mm] 0\,$ [/mm] stimmt die Formel nicht!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Fr 27.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen
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> Ich schaue mir einen Beweis an und verstehe folgende
> Ungleichung nicht, obwohl sie total trivial aussieht.
>
> [mm]\sum_{n\ge 1} \mathbf1\{n\le f(x)\} \le f(x)[/mm]
>
> Wieso gilt dies?
>
> Dankeschööööön
Wie soll man Dir helfen, wenn Du so gar nichts über f verrätst ? Und was ist mit [mm] \mathbf1\{n\le f(x)\} [/mm] gemeint. Char. Funktion ??
FRED
>
> hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Fr 27.01.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Sorry, ich hätte erwähnen sollen, dass $f$ eine nicht negative funktion ist. bzgl. $ [mm] \mathbf1\{\}$, [/mm] dachte ich: Wenn ich eine Frage im Wahrscheinlichkeitstheorieforum frage, sollte klar sein, dass dies die charakt. Funktion ist. Entschuldigt, wenn meine Frage ungenau formuliert ist! Sie wurde aber perfekt beantwortet und dafür bin ich dankbar.
greetz
hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hulla,
> Hallöchen
>
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> Sorry, ich hätte erwähnen sollen, dass [mm]f[/mm] eine nicht
> negative funktion ist. bzgl. [mm]\mathbf1\{\}[/mm], dachte ich: Wenn
> ich eine Frage im Wahrscheinlichkeitstheorieforum frage,
> sollte klar sein, dass dies die charakt. Funktion ist.
das ist aber eine ungewöhnliche Schreibweise - sie ist zudem eigentlich "total unklar" und verwirrend. Sinnvoll und bekannt ist
[mm] $$\mathbf{1}_{(0,f(x)]}(n)$$
[/mm]
für das, was Du mit
[mm] $$\mathbf{1}_{\{n \le f(x)\}} \text{ oder }\mathbf{1}\{n \le f(x)\}$$
[/mm]
bezeichnet hattest. (Bzw. bezeichnen wolltest?)
Kurze Frage: Sollte das Deine eigene Definition sein, dann benutze sie bitte nicht wieder, sondern arbeite wirklich mit den Definitionen wie etwa unten in Wiki stehen. Sollte das von jemand anderem sein: Wo steht diese Definition oder wer benutzt diese "Schreibweise"?
Jedenfalls kenne ich das nur so, vgl. auch ![[]](/images/popup.gif) Wiki.
Das ungünstige an der Schreibweise [mm] $\mathbf{1}\{n \le f(x)\}$ [/mm] ist, dass aus der Symbolik eigentlich gar nichts wirklich hervorgeht: An welcher Stelle die Funktion ausgewertet wird, ist unklar, und die Menge [mm] $T\,$ [/mm] ist nicht ersichtlich. Ich habe mir das alles so zusammengereimt, dass es irgendwie Sinn machte. Anscheinend habe ich gut geraten (kombiniert) 
P.S.:
Natürlich kann man das Symbol [mm] $\mathbf{1}\{n \le f(x)\}$ [/mm] schon interpretieren - es erinnert mich ein wenig an die Informatik:
[mm] $$\mathbf{1}\{n \le f(x)\}$$
[/mm]
soll genau für natürliche $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \le [/mm] f(x)$ (also wenn das [mm] $n\,$ [/mm] die "Klammerbedingung" erfüllt) den Wert [mm] $1\,$ [/mm] haben, ansonsten [mm] $0\,.$
[/mm]
Da muss man aber schon immer wissen, was "das Argument" der Funktion sein soll. Denn bzgl. welcher Variable ist denn [mm] $\mathbf{1}\{f(x) \ge n\}$ [/mm] zu interpretieren?
Also: Die Symbolik macht echt nur Sinn, wenn man quasi Vorinformationen mitreinsteckt. Die Benutzung von [mm] $\mathbf{1}_T(x)$ [/mm] erspart uns das!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Sa 28.01.2012 | | Autor: | hula |
Hallo Marcel
Die Notation wurde in einem Skript an meiner Uni verwendet. Was ich aber zugeben muss: Ich hätte etwas präziser bzgl $f$ sein sollen. Zuerst dachte ich, dass es keine Rolle spielt was für eine Funktion dort steht. Das war der Fehler. Trotzdem danke!
hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hula,
> Hallo Marcel
>
> Die Notation wurde in einem Skript an meiner Uni verwendet.
es bleibt nach wie vor eine ungelungene Notation - aber gut: Das ist dann keinesfalls Dein Fehler!
> Was ich aber zugeben muss: Ich hätte etwas präziser bzgl
> [mm]f[/mm] sein sollen. Zuerst dachte ich, dass es keine Rolle
> spielt was für eine Funktion dort steht. Das war der
> Fehler. Trotzdem danke!
Das passt schon - solange es nun klar ist. Mein Tipp: Schreibe halt beim nächsten Mal dazu, welche Eigenschaft [mm] $f\,$ [/mm] haben soll, und dann kannst Du ja zusätzlich fragen, ob man diese abschwächen oder ganz auf sie verzichten kann.
Gruß,
Marcel
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