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Hallo,
ich habe eine ziemlich eindeutige quadratische Ungleichung gegeben:
[mm] -x^{2} \le [/mm] x+4
Umgeformt in die Normalform:
[mm] x^{2} [/mm] + x + 4 [mm] \ge [/mm] 0
Man sieht auf den ersten Blick, dass jede beliebige Zahl zur Lösungsmenge gehört. Wie schreibe ich das aber konkret auf, um es zu beweisen?
PQ-Formel geht nicht, dort bekomme ich eine leere Lösungsmenge (negativer Wert unter der Wurzel).
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Hallo,
[mm] x^2+x+4>x^2+x+\bruch{1}{4}=\left(x+\bruch{1}{2}\right)^2\ge{0}
[/mm]
Gruß, Diophant
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Wo kommt denn das [mm] \bruch{1}{4} [/mm] her?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Sa 26.05.2012 | | Autor: | algieba |
> Wo kommt denn das [mm]\bruch{1}{4}[/mm] her?
Das [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] wurde einfach frei gewählt um eine binomische Gleichung zu erhalten.
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Hallo,
zwar hat es algieba im Prinzip beantwortet. Aber ich möchte es dennoch etwas ausführen:
> Wo kommt denn das [mm]\bruch{1}{4}[/mm] her?
Du möchtest zeigen, dass die Ungleichung
[mm] x^2+x+4\ge{0}
[/mm]
für alle reellen Zahlen gilt. Wenn du dir die Schaubilder von
[mm] f(x)=-x^2
[/mm]
g(x)=x+4
mal zusammen im Koordinatensystem betrachtest, so wirst du festsellen, dass sie keine gemeinsamen Punkte besitzen (Ok, ich musste mir das in diesem Fall nicht mehr grafisch klarmachen, aber schaden tut s dennoch nix). Also gilt auch die schärfere Version
[mm] x^2+x+4>0
[/mm]
Wenn man sich die ersten beiden Summanden anschaut, dann sieht man sofort, dass man sie durch 1/4 zu einem Binom ergänzen kann. Ein Binom ist ein Quadrat, also größer oder gleich Null. Un d 4 ist glücklicherweise größer als 1/4, also kann man, wie man in der Mathematik sagt, den Term
[mm] x^2+x+4
[/mm]
durch das Binom
[mm] \left(x+\bruch{1}{2}\right)^2
[/mm]
nach unten abschätzen:
[mm] 4>\bruch{1}{4} [/mm] => [mm] x^2+x+4>x^2+x+\bruch{1}{4}=\left(x+\bruch{1}{2}\right)^2
[/mm]
Und von dem Binom darf man das jetzt annehmen, dass es für alle reellen Zahlen größer oder gleich Null ist (Natürlich wird auch das irgendwann einmal gezeigt, aber im Kontext einer solchen Ungleichung darf man darauf zurückgreifen).
@algieba:
Was ist eine binomische Gleichung? 
Gruß, Diophant
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Ok, alles klar.
Ich dachte erst Du hast eine quadratische Ergänzung gemacht. Die würde ja dann im Prinzip auch gehen:
[mm] (x+\bruch{1}{2})^{2} [/mm] + 3,75 [mm] \ge [/mm] 0
Ist ja fast dasselbe.
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Hallo,
> Ok, alles klar.
>
> Ich dachte erst Du hast eine quadratische Ergänzung
> gemacht. Die würde ja dann im Prinzip auch gehen:
>
> [mm](x+\bruch{1}{2})^{2}[/mm] + 3,75 [mm]\ge[/mm] 0
>
> Ist ja fast dasselbe.
es ist nicht nur fast dasselbe, sondern es ist genau das gleiche, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Es ist nämlich
[mm] 4-\bruch{1}{4}=\bruch{15}{4}=3.75
[/mm]
Ein persönlicher Ratschlag zum Schluss: vermeide in der Analysis Dezimalbrüche, das ist sonst wie Fahrradfahren mit Stützrädern; oder, um mehr auf dein zukünftiges Fachgebiet einzugehen: wie ein auf 250 km/h abgeregelter Ferrari. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Zunächst weißt Du doch (zumindest solltest Du das ), dass die Parabel $f(x) \ = \ [mm] x^2+x+4$ [/mm] nach oben geöffnet ist.
Wo genau liegt der Scheitelpunkt dieer Parabel? Daraus folgt dann unmittelbar Deine Behauptung / Ungleichung.
Gruß
Loddar
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