Ungleichung Beweisen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Foxy333 |
| Aufgabe | Sei [mm] |(x,y)|:=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] und (a,b)
Und es gelte : |(x,y)|>max(2,|(a,b)|) (a,b) [mm] \in \IR^{2}
[/mm]
Nun soll man folgende Ungleichung beweisen:
[mm] \wurzel{ (x^2-y^2+a)^{2} + (2xy+b)^{2} } >|(x,y)|^2-|(x,y)|>|(x,y)| [/mm] |
Hallo
ich habe Probleme, diese Ungleichung zu lösen.
Den zweiten Teil der Ungleichung lautet |(x,y)|>2, was nach Definition schon gilt.
[mm] \wurzel{ (x^2-y^2+a)^{2} + (2xy+b)^{2} } >|(x,y)|^2-|(x,y)|
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \wurzel{ |(a,b)|^2+ 2ax^{2} - 2ay^{2} + 4bxy+|(x,y)|^4} >|(x,y)|^2-|(x,y)|
[/mm]
Aber wie dann?
Bin ratlos
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Hallo Foxy,
genauer hinschauen...
> Sei [mm]|(x,y)|:=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] und (a,b)
hier fehlt die Aussage über (a,b).
> Und es gelte : |(x,y)|>max(2,|(a,b)|) (a,b) [mm]\in \IR^{2}[/mm]
>
> Nun soll man folgende Ungleichung beweisen:
> [mm]\wurzel{ (x^2-y^2+a)^{2} + (2xy+b)^{2} } >|(x,y)|^2-|(x,y)|>|(x,y)|[/mm]
>
>
>
> Hallo
> ich habe Probleme, diese Ungleichung zu lösen.
> Den zweiten Teil der Ungleichung lautet |(x,y)|>2, was
> nach Definition schon gilt.
Das sehe ich anders. Aber vielleicht ist es ja die fehlende Aussage über (a,b), die diesen Schluss erlaubt. In der vorliegenden Form ist |(x,y)|>2 eine andere Form der rechten Ungleichung.
Das könnte übrigens ein Ansatz sein, um ein Gegenbeispiel zu finden. Wäre (a,b)=(0,0), so müsste laut Voraussetzungen ja nur |(x,y)|>0 gelten, also wäre z.B. (x,y)=(1,1) erlaubt, was aber die rechte Ungleichung nicht erfüllt.
> [mm]\wurzel{ (x^2-y^2+a)^{2} + (2xy+b)^{2} } >|(x,y)|^2-|(x,y)|[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\wurzel{ |(a,b)|^2+ 2ax^{2} - 2ay^{2} + 4bxy+|(x,y)|^4} >|(x,y)|^2-|(x,y)|[/mm]
Unter der Wurzel fehlt noch das Glied [mm] -2x^2y^2.
[/mm]
Ansonsten sind beide Seiten der Ungleichung positiv, sofern die rechte Ungleichung erfüllt ist. Die rechte Seite hier ist dann sogar >2, über die linke wissen wir noch nichts.
> Aber wie dann?
Unter o.g. Voraussetzung darfst Du nun getrost quadrieren.
> Bin ratlos
Grüße
reverend
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