Ungleichung Eulersche Phi Funk < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Sa 23.03.2013 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | für alle natürlichen n gilt
[mm] $\varphi(3^{k+1}-2) \ge 2\cdot 3^k$ [/mm] |
es gibt zwar den Satz, dass für hinreichend große n
[mm] $\varphi(n) [/mm] > [mm] \frac{n}{\log n} [/mm] ist, aber dann....
|
|
| |
|
Hallo wauwau,
die Vermutung sieht stark aus, stimmt aber nicht.
> für alle natürlichen n gilt
> [mm]\varphi(3^{k+1}-2) \ge 2\cdot 3^k[/mm]
Du meinst wohl: für alle [mm] k\in\IN [/mm] gilt...
> es gibt zwar den Satz,
> dass für hinreichend große n
> [mm]$\varphi(n)[/mm] > [mm]\frac{n}{\log n}[/mm] ist, aber dann....
Begründung meiner obigen Aussage:
Ich untersuche [mm] 3^n\equiv 2\mod{p}, [/mm] wobei offensichtlich n=k+1.
Das ist wie folgt erfüllt.
Für p=5 und [mm] n\equiv 3\mod{4}.
[/mm]
Für p=7 und [mm] n\equiv 2\mod{6}. [/mm] (Das ist nicht vereinbar mit der Bedingung für p=5)
Für p=11 nie.
Für p=13 nie.
Für p=17 und [mm] n\equiv 14\mod{16}. [/mm] (Nicht vereinbar mit der Bedingung für p=5, aber für p=7)
Für p=19 und [mm] n\equiv 7\mod{18}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=7 und p=17)
Für p=23 und [mm] n\equiv 7\mod{22}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=7 und p=17)
Für p=29 und [mm] n\equiv 17\mod{28}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=7,17)
Für p=31 und [mm] n\equiv 24\mod{30}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=5,19,23,29)
Für p=37 nie.
Für p=41 nie.
Für p=43 und [mm] n\equiv 27\mod{42}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=7,17,31)
Für p=47 und [mm] n\equiv 17\mod{46}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=7,17,31)
Für p=53 und [mm] n\equiv 49\mod{52}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=5,19,23,29,43,47)
Für p=59 nie.
Für p=61 nie.
Für p=67 nie.
Für p=71 und [mm] n\equiv 11\mod{70}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=5,19,23,29,43,47)
Für p=73 nie.
Für p=79 und [mm] n\equiv 4\mod{78}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=7,17,31,53)
Für p=83 nie.
Für p=89 und [mm] n\equiv 16\mod{88}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=7,17,31,53)
Für p=97 und [mm] n\equiv 43\mod{96}. [/mm] (Nicht vereinbar mit p=5,19,23,29,43,47,79,89)
etc. pp.
Du kommst jedenfalls irgendwann auf beliebig lange Listen von Primzahlen, für die die Kongruenz gleichzeitig lösbar ist. Eine kleinste Lösung findest Du dann mit dem chinesischen Restsatz.
n ist dann ein Gegenbeispiel, wenn [mm] \produkt_{i}\left(1-\bruch{1}{p_i}\right)<\bruch{2}{3} [/mm] ist.
Das ist sicher zu finden. Den Rest der Arbeit überlasse ich aber erstmal Dir. Hier wird k=n-1 allerdings so groß sein, dass Du mit keinem "gängigen" Programm und keinem normalen Rechner das Ergebnis leicht überprüfen kannst, mit obigen Kongruenzen aber schon.
Herzliche Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:25 So 24.03.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo zusammen,
hatte die selbe Idee wie reverend.
Das n, dass man so kriegt ist relativ groß: $3,8 [mm] \cdot 10^{27}$
[/mm]
Was ich persönlich viel interessanter finde ist was ich mit dem Ergebnis im Internet gefunden habe:
http://mathoverflow.net/questions/121066/inequality-with-eulers-totient-function
Die selbe Frage am 7.02.2013, die selbe negative Antwort (sogar mit Programm).
Und Wohnort und Initialen des Fragestellers passen ziemlich gut zu Wohnort und Nick hier.
Ich finde das irgendwie seltsam.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 So 24.03.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo sometree,
gute Recherche. 
Ich habe als Ausrede gerade nur anzubieten, dass die Internetverbindung an diesem Wochenende nicht ganz überzeugend war...
> hatte die selbe Idee wie reverend.
Die ist irgendwie auch naheliegend, oder?
> Das n, dass man so kriegt ist relativ groß: [mm]3,8 \cdot 10^{27}[/mm]
Ist das schon relativ groß? In der Zahlentheorie ist die Größe ja eher unerheblich.
> Was ich persönlich viel interessanter finde ist was ich
> mit dem Ergebnis im Internet gefunden habe:
>
> http://mathoverflow.net/questions/121066/inequality-with-eulers-totient-function
Ja, sehr interessant. Mich würde aber vor allem interessieren, wie Du das gefunden hast. Es ist ja nicht ganz einfach, nach mathematischen Sachverhalten zu suchen, zumal google u.a. ja so tun, als sei LaTeX-Code unerheblich.
> Die selbe Frage am 7.02.2013, die selbe negative Antwort
> (sogar mit Programm).
Na, hätte ja sein können, dass eine deutsche Antwort anders ausfällt als eine englische... 
> Und Wohnort und Initialen des Fragestellers passen
> ziemlich gut zu Wohnort und Nick hier.
Ja, so will es scheinen. Um nicht zu sagen.............
.......hm, dann sage ich es halt auch nicht.
> Ich finde das irgendwie seltsam.
Das ist eine diplomatische Formulierung. Meine Hochachtung.
Herzliche Grüße
reverend
PS: Schön, dass Du in letzter Zeit in der Zahlentheorie mitmischst. Da sind wir ein bisschen unterbesetzt und ich selbst z.B. auch eigentlich nicht hinreichend kompetent, sobald es Anfängerfragen übersteigt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 So 24.03.2013 | | Autor: | sometree |
Hallo reverend,
> Hallo sometree,
>
> gute Recherche.
> Ich habe als Ausrede gerade nur anzubieten, dass die
> Internetverbindung an diesem Wochenende nicht ganz
> überzeugend war...
>
> > hatte die selbe Idee wie reverend.
>
> Die ist irgendwie auch naheliegend, oder?
>
Wenn man sich vom Gedanken gelöst hat, dass die Behauptung stimmt dann ja.
> > Das n, dass man so kriegt ist relativ groß: [mm]3,8 \cdot 10^{27}[/mm]
>
> Ist das schon relativ groß? In der Zahlentheorie ist die
> Größe ja eher unerheblich.
>
Relativ groß ist relativ. Die Zahl hat ca. 80 bit ist also zu groß für long.
Damit ist das Rechnen nicht mehr ganz so schön. Zahlentheoretisch ist die Größe ziemlich irrelevant. Vom Standpunkt der algorithmischen Zahlentheorie schon relevanter, insbesondere wenn man nur einen Laptop zur Verfügung hat.
Außerdem hätte ich die Zahl kleiner erwartet.
> > Was ich persönlich viel interessanter finde ist was ich
> > mit dem Ergebnis im Internet gefunden habe:
> >
> >
> http://mathoverflow.net/questions/121066/inequality-with-eulers-totient-function
>
> Ja, sehr interessant. Mich würde aber vor allem
> interessieren, wie Du das gefunden hast. Es ist ja nicht
> ganz einfach, nach mathematischen Sachverhalten zu suchen,
> zumal google u.a. ja so tun, als sei LaTeX-Code
> unerheblich.
In dem Fall hab ich nach der konstruierten Primzahlenfolge gesucht.
Folgen gehen ganz gut zu googeln, gibt ja auch die Datenbank dazu deren Name ich grad vergessen hab.
Ansonsten ist mein Tipp ehe rnach den Namen zu googeln (hier liefert Euler totient inequality ein gutes Ergebnis) wobei man das zugegebener Weise oft nicht kennt. Insgesamt sehe ich es auch so, dass google da nicht so ideal dafür geeignet ist (genausowenig wie das anfangs so gehypte wolframalpha)
> > Die selbe Frage am 7.02.2013, die selbe negative Antwort
> > (sogar mit Programm).
>
> Na, hätte ja sein können, dass eine deutsche Antwort
> anders ausfällt als eine englische...
>
Die Antwort war von 'nem Deutschen :)
> > Und Wohnort und Initialen des Fragestellers passen
> > ziemlich gut zu Wohnort und Nick hier.
>
> Ja, so will es scheinen. Um nicht zu sagen.............
> .......hm, dann sage ich es halt auch nicht.
>
> > Ich finde das irgendwie seltsam.
>
> Das ist eine diplomatische Formulierung. Meine
> Hochachtung.
>
> Herzliche Grüße
> reverend
>
> PS: Schön, dass Du in letzter Zeit in der Zahlentheorie
> mitmischst. Da sind wir ein bisschen unterbesetzt und ich
> selbst z.B. auch eigentlich nicht hinreichend kompetent,
> sobald es Anfängerfragen übersteigt.
>
Danke für die Blumen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:39 Mi 27.03.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > Das n, dass man so kriegt ist relativ groß: [mm]3,8 \cdot 10^{27}[/mm]
> >
> > Ist das schon relativ groß? In der Zahlentheorie ist die
> > Größe ja eher unerheblich.
> >
> Relativ groß ist relativ. Die Zahl hat ca. 80 bit ist also
> zu groß für long.
in das long von Python passt sie noch locker rein
> > > Was ich persönlich viel interessanter finde ist was ich
> > > mit dem Ergebnis im Internet gefunden habe:
> > >
> > >
> >
> http://mathoverflow.net/questions/121066/inequality-with-eulers-totient-function
Oh ja. Das ist sehr interessant.
> Folgen gehen ganz gut zu googeln, gibt ja auch die
> Datenbank dazu deren Name ich grad vergessen hab.
![[]](/images/popup.gif) The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
> Ansonsten ist mein Tipp ehe rnach den Namen zu googeln
> (hier liefert Euler totient inequality ein gutes Ergebnis)
> wobei man das zugegebener Weise oft nicht kennt. Insgesamt
> sehe ich es auch so, dass google da nicht so ideal dafür
> geeignet ist (genausowenig wie das anfangs so gehypte
> wolframalpha)
Wolframalpha ist praktisch als besserer Taschenrechner, der auch mal Funktionen ableiten und integrieren kann. Sobald es etwas komplizierter wird kann man das aber auch wieder vergessen. Und zum Suchen nach sowas hab ich es noch nie verwendet... :)
> > > Die selbe Frage am 7.02.2013, die selbe negative
> > > Antwort (sogar mit Programm).
Und die nichtmals akzeptiert wurde. Schade, sowas.
> > PS: Schön, dass Du in letzter Zeit in der Zahlentheorie
> > mitmischst. Da sind wir ein bisschen unterbesetzt und ich
> > selbst z.B. auch eigentlich nicht hinreichend kompetent,
> > sobald es Anfängerfragen übersteigt.
>
> Danke für die Blumen.
Ich tu auch noch mal ein paar Blumen dazu. Verstaerkung ist immer gut, gerade in solchen Themen bei denen es nicht so viele Antwortengeber gibt
LG Felix
|
|
|
|
