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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Ungleichung Lösen
Ungleichung Lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ungleichung Lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mi 05.11.2008
Autor: ganzir

Aufgabe
0 < 4x + 26 +| 5x + 2|

Soweit ich das sehe ist hier die Lösung x [mm] \in \IR [/mm]

Da | 5x+2 | + 26 > 0

und 4x selbst bei x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] niemals so klein wird, dass es die Gleichung unter Null "ziehen" kann.

Meine Frage ist nun, wie genau schreibe ich das?

        
Bezug
Ungleichung Lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Mi 05.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo ganzir,

> 0 < 4x + 26 +| 5x + 2|
>  Soweit ich das sehe ist hier die Lösung x [mm]\in \IR[/mm]

[ok] ja, ganz recht, Lösungsmenge ist hier ganz [mm] $\IR$ [/mm]

>  
> Da | 5x+2 | + 26 > 0
>  
> und 4x selbst bei x [mm]\to[/mm] - [mm]\infty[/mm] niemals so klein wird,
> dass es die Gleichung unter Null "ziehen" kann.
>  
> Meine Frage ist nun, wie genau schreibe ich das?

Ganz formal kannst du das durch eine Fallunterscheidung bzgl. des Betrages machen

Es ist ja [mm] $|z|=\begin{cases} z, & \mbox{für } z\ge 0 \\ -z, & \mbox{für } z<0 \end{cases}$ [/mm]

Also hier: [mm] $|5x+2|=\begin{cases} 5x+2, & \mbox{für } 5x+2\ge 0 \\ -(5x+2), & \mbox{für } 5x+2<0 \end{cases}=\begin{cases} 5x+2, & \mbox{für } x\ge -\frac{2}{5} \\ -5x-2, & \mbox{für } x<-\frac{2}{5} \end{cases}$ [/mm]

Damit hast du dann deine beiden Fälle:

(1) [mm] $x\ge -\frac{2}{5}$ [/mm]

Wie sieht da die Ungleichung aus?

$0 \ < \ 4x+26+|5x+2| \ [mm] \gdw [/mm] \ 0 \ < \ 4x+26+5x+2$ ...

Löse das mal

(2) $x \ < \ [mm] -\frac{2}{5}$ [/mm]

Dann ist die Ungleichung $0 \ < \ 4x+26+|5x+2|$ äquivalent zur Ungleichung $0 \ < \ 4x+26-5x-2$ ...


Die Gesamtlösungsmenge ist die Vereinigung der Lösungsmengen aus den beiden Fällen ...


LG

schachuzipus


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