Ungleichung beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mo 05.11.2007 | | Autor: | angie.b |
| Aufgabe | | Es sei [mm] n\in [/mm] N ein Parameter. Beweisen Sie für alle [mm] k\in N_{0} [/mm] die Richtigkeit der Ungleichung [mm] \vektor{n \\ k} \le \bruch {n^k}{k!} [/mm] . |
hallöchen..ich glaub den beweis zu haben, würd emich aber freuen wenn ich eine rückmeldung bekommen würde, ob dieser so okay ist bzw. falls was falsch ist, einen hinweis erhalten würde.
großes danekschön schonmal dafür!! :)
Beweis durch vollständige Induktion:
(i) n=1
[mm] \vektor {1\\k} \le \bruch {1^k}{k!}
[/mm]
1 [mm] \le [/mm] 1 , w.A.
(ii) n+1
[mm] \vektor {(n+1)\\k!} \le \bruch{(n+1)^k}{k!}
[/mm]
[mm] \vektor {(n+1)\\k!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{k! (n+1-k)!} [/mm]
= [mm] \bruch{n! (n+1)}{k! (n-k)! (n+1-k)}
[/mm]
= [mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)}{(n+1-k)}
[/mm]
laut Induktionsvoraussetzung folgt:
[mm] \bruch{n!}{k! (n-k)!} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)}{(n+1-k)} \le \bruch{n^k}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)}{(n+1-k)} [/mm]
-> [mm] \bruch{n^k}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)}{(n+1-k)} \le \bruch{(n+1)^k}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)}{(n+1-k)} [/mm]
da [mm] n^k\le (n+1)^k [/mm] für n [mm] \le [/mm] n+1 w.A. ist auch
[mm] (n^k) [/mm] * [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)}{(n+1-k)} \le (n+1)^k [/mm] * [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)}{(n+1-k)} [/mm]
[mm] \Box
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Di 06.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]n\in[/mm] N ein Parameter. Beweisen Sie für alle [mm]k\in N_{0}[/mm]
> die Richtigkeit der Ungleichung [mm]\vektor{n \\ k} \le \bruch {n^k}{k!}[/mm]
> .
> hallöchen..ich glaub den beweis zu haben, würd emich aber
> freuen wenn ich eine rückmeldung bekommen würde, ob dieser
> so okay ist bzw. falls was falsch ist, einen hinweis
> erhalten würde.
>
> großes danekschön schonmal dafür!! :)
>
> Beweis durch vollständige Induktion:
Muss es Induktion sein? Ich hätte einen anderen Beweis 
> (i) n=1
>
> [mm]\vektor {1\\k} \le \bruch {1^k}{k!}[/mm]
> 1 [mm]\le[/mm] 1 , w.A.
Stimmt nicht ganz, denn für [mm]k>1[/mm] ist der Binomialkoeffizient links 0, nicht 1.
>
>
> (ii) n+1
>
> [mm]\vektor {(n+1)\\k!} \le \bruch{(n+1)^k}{k!}[/mm]
Links ohne das Ausrufezeichen: [mm]\vektor {n+1\\k}[/mm].
> [mm]\vektor {(n+1)\\k!}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)!}{k! (n+1-k)!}[/mm]
> = [mm]\bruch{n! (n+1)}{k! (n-k)! (n+1-k)}[/mm]
> = [mm]\bruch{n!}{k! (n-k)!}*\bruch{(n+1)}{(n+1-k)}[/mm]
Auch hier muss du aufpassen bei [mm]k>n[/mm], dass nicht einer der Faktoren in Zähler oder Nenner 0 wird. Setz zum Beispiel k=n+1 ein!
Ich würde daher sagen: für [mm]n0[/mm], also wahr. Dann nimmst du als Induktionsanfang n=k.
> laut Induktionsvoraussetzung folgt:
>
> [mm]\bruch{n!}{k! (n-k)!}[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)}{(n+1-k)} \le \bruch{n^k}{k!} * \bruch{(n+1)}{(n+1-k)}[/mm]
>
> -> [mm]\bruch{n^k}{k!}[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)}{(n+1-k)} \le \bruch{(n+1)^k}{k!} * \bruch{(n+1)}{(n+1-k)}[/mm]
>
> da [mm]n^k\le (n+1)^k[/mm] für n [mm]\le[/mm] n+1 w.A. ist auch
>
> [mm](n^k)[/mm] * [mm]\bruch{1}{k!}[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)}{(n+1-k)} \le (n+1)^k * \bruch{1}{k!}[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)}{(n+1-k)}[/mm]
Du solltest noch dazuschreiben, dass der letzte Bruch [mm] \bruch{(n+1)}{(n+1-k)}\ge 1[/mm] ist wegen [mm]n\ge k[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Di 13.11.2007 | | Autor: | angie.b |
dankeschön für deine hilfe!! :) lg
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