Ungleichung beweisen < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Di 19.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo, Leute!
Ich soll folgende Ungleichung beweisen:
ln(kx) [mm] \le [/mm] kx-1 für alle x,k>0
Da k>0 und x>0 habe ich kx einfach mal zu z zusammengefasst, das auch immer >0 ist.
kx=z
[mm] \Rightarrow [/mm] ln(z) [mm] \le [/mm] z-1 ist zu beweisen.
Könnte man nun mit den Schaubildern argumentieren, also dass, wenn man beide Seiten der Ungleichung als Funktionen auffasst, g(z)=z-1 Tangente an h(z)=ln(z) im Punkt B(1|0) ist? (g(1)=h(1) und g'(1)=h'(1))
Oder muss man bei Beweisen weiter gehen/Sachen noch genauer machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Di 19.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du kannst theoretisch etwas über die Steigung aussagen, nämlich dass ln(x) langsamer wächst als x. Und wenn ab einem gewissen [mm] x_0 [/mm] gilt, dass [mm] x_0>=ln(x_0), [/mm] dann bist du ja schon fertig, da x schneller wächst als [mm] ln(x_0) [/mm] und da beide streng monton wachsend sind, kann ln(x) x nicht mehr überholen.
LG
Kroni
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Hallo Teufel!
Führe für [mm] $f_k(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln(k*x)-k*x+1$ [/mm] eine Extremwertberechnung durch und zeige, dass für das (globale) Maximum gilt: [mm] $y_{\max} [/mm] \ = \ [mm] f_k(x_{\max}) [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Di 19.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Die Variante finde ich gut, vielen Dank an euch beide!
Also müsste ich bei meiner Variante aber noch weiter gehen, oder? Ja, das mit der Monotonie wäre auch kein Ding gewesen, Problem ist nur, dass wir so selten Beweise machen und ich nicht weiß, wie genau man da arbeiten muss (natürlich am besten immer VERDAMMT genau, aber von der Zeit her muss es ja dann auch drauf ankommen :))
Also danke nochmal!
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