Ungleichung beweisen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mi 25.06.2008 | | Autor: | parseval |
| Aufgabe | Es sei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] I_{n}=\integral_{0}^{1}{(1-x)^n e^{2x} dx}
[/mm]
1) Zeige dass:
[mm] \bruch{1}{n+1}\le I_n \le \bruch{e^2}{n+1}
[/mm]
2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} I_n [/mm] herleiten |
Irgendeine Idee wie man (1) löst ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]I_{n}=\integral_{0}^{1}{(1-x)^n e^{2x} dx}[/mm]
>
> 1) Zeige dass:
> [mm]\bruch{1}{n+1}\le I_n \le \bruch{e^2}{n+1}[/mm]
>
> 2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} I_n[/mm] herleiten
> Irgendeine Idee wie man (1) löst ?
Wie beweist man typischerweise eine Behauptung, die für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelten soll? - Doch in aller Regel mittels Induktion: Für den Induktionschritt wirst Du benutzen müssen, dass sich das Integral [mm] $I_{n+1}$, [/mm] dank partieller Integration, mit Hilfe von [mm] $I_n$ [/mm] ausdrücken lässt.
2) folgt dann direkt aus 1).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Do 26.06.2008 | | Autor: | parseval |
> > Es sei n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]I_{n}=\integral_{0}^{1}{(1-x)^n e^{2x} dx}[/mm]
>
> >
> > 1) Zeige dass:
> > [mm]\bruch{1}{n+1}\le I_n \le \bruch{e^2}{n+1}[/mm]
> >
> > 2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} I_n[/mm] herleiten
> > Irgendeine Idee wie man (1) löst ?
>
> Wie beweist man typischerweise eine Behauptung, die für
> alle [mm]n\in\IN[/mm] gelten soll? - Doch in aller Regel mittels
> Induktion: Für den Induktionschritt wirst Du benutzen
> müssen, dass sich das Integral [mm]I_{n+1}[/mm], dank partieller
> Integration, mit Hilfe von [mm]I_n[/mm] ausdrücken lässt.
>
> 2) folgt dann direkt aus 1).
Das ist schon klar. Aber mit der vollstäntigen Induktion kommt man hier nicht zum Ziel. Die ungleichung [mm]\bruch{1}{n+2}\le I_{n+1} \le \bruch{e^2}{n+2}[/mm] lässt sich damit nicht beweisen. Oder doch ?
Vielleicht wäre hier eine detaillierte Lösung angebracht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Do 26.06.2008 | | Autor: | fred97 |
es ist auf [0,1]
[mm] (1-x)^n [/mm] kleiner gleich [mm] (1-x)^n [/mm] exp(2x) kleiner gleich [mm] (1-x)^n [/mm] exp(2).
Jetzt integrieren (Monotonie des Integrals)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Do 26.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> es ist auf [0,1]
>
> [mm](1-x)^n[/mm] kleiner gleich [mm](1-x)^n[/mm] exp(2x) kleiner
> gleich [mm](1-x)^n[/mm] exp(2).
>
> Jetzt integrieren (Monotonie des Integrals)
Schöne Idee, so geht's natürlich am einfachsten.
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> > > Es sei n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]I_{n}=\integral_{0}^{1}{(1-x)^n e^{2x} dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > 1) Zeige dass:
> > > [mm]\bruch{1}{n+1}\le I_n \le \bruch{e^2}{n+1}[/mm]
> > >
> > > 2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} I_n[/mm] herleiten
> > > Irgendeine Idee wie man (1) löst ?
> >
> > Wie beweist man typischerweise eine Behauptung, die für
> > alle [mm]n\in\IN[/mm] gelten soll? - Doch in aller Regel mittels
> > Induktion: Für den Induktionschritt wirst Du benutzen
> > müssen, dass sich das Integral [mm]I_{n+1}[/mm], dank partieller
> > Integration, mit Hilfe von [mm]I_n[/mm] ausdrücken lässt.
> >
> > 2) folgt dann direkt aus 1).
>
> Das ist schon klar. Aber mit der vollstäntigen Induktion
> kommt man hier nicht zum Ziel. Die ungleichung
> [mm]\bruch{1}{n+2}\le I_{n+1} \le \bruch{e^2}{n+2}[/mm] lässt sich
> damit nicht beweisen.
Wie kannst Du das so sicher wissen? - Hast Du es versucht? - Und wenn ja, wo hapert es?
> Oder doch ?
Also doch unsicher?
> Vielleicht wäre hier eine detaillierte Lösung angebracht.
Gut, aber eine detaillierte Lösung von mir? Also mal soviel: mittels partieller Integration habe ich für [mm] $I_n [/mm] := [mm] \int_0^1(1-x)^n e^{2x}\; [/mm] dx$ gefunden, dass [mm] $I_{n+1}=\frac{n+1}{2}I_n-\frac{1}{2}$ [/mm] ist. Zudem ist [mm] $I_0=\frac{e^2-1}{2}$ [/mm] und [mm] $I_1=\frac{e^2-3}{4}$ [/mm] (ohne Gewähr: bitte selbst nachrechnen).
Für $n=0$ scheint die Ungleichung jedenfalls zu gelten.
Nun versuch' doch mal den Induktionsschritt [mm] $n\Rightarrow [/mm] n+1$, d.h. versuche aus der Annahme des Geltens der Ungleichung für $n$ auf deren Gelten für $n+1$ zu schliessen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 Fr 27.06.2008 | | Autor: | parseval |
Danke,
es klappt doch mit der vollständigen Induktion, allerdings muss man viel mehr rechnen als mit der direkten Methode von fred
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