Ungleichung beweisen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Spalding |
| Aufgabe | | Beweisen Sie für x>0 : [mm] 1-\bruch{1}{x} \le [/mm] log(x) [mm] \le [/mm] x-1 |
Hallo,
ich habe aus Zufall einfach mal was eingesetzt.
Als Beispiel mal 3.
dann steht da:
[mm] 1-\bruch{1}{3} \le [/mm] log(3) => [mm] \bruch{2}{3} \le [/mm] 0,477...
wo ist mein Denkfehler ?
habe ich mich verrechnet ?
ist vielleicht 3 nicht größer als 0 ? ;)
Besten Dank.
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Moin Spalding,
> Beweisen Sie für x>0 : [mm]1-\bruch{1}{x} \le[/mm] log(x) [mm]\le[/mm] x-1
> Hallo,
>
> ich habe aus Zufall einfach mal was eingesetzt.
> Als Beispiel mal 3.
>
> dann steht da:
>
> [mm]1-\bruch{1}{3} \le[/mm] log(3) => [mm]\bruch{2}{3} \le[/mm] 0,477...
>
> wo ist mein Denkfehler ?
Es ist [mm] \log(3)=\ln(3)\approx1,0986
[/mm]
> habe ich mich verrechnet ?
> ist vielleicht 3 nicht größer als 0 ? ;)
>
Für den Beweis reicht es z.z [mm] \log(x)\leq [/mm] x-1
Daraus folgt dann mit x=1/y und [mm] \log(1/y)=-\log(y) [/mm] die linke Seite:
[mm] \log(1/y)\leq1/y-1 \Rightarrow y\geq1-1/y
[/mm]
> Besten Dank.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Spalding |
oh verdammt!
das ist peinlich.
danke !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Spalding |
> Für den Beweis reicht es z.z [mm]\log(x)\leq[/mm] x-1
> LG
kann ich mir da einfach 2 Funktionen definieren
f(x):= logx und g(x):= x-1 [mm] \forall [/mm] x > 0
und dann einfach sagen, dass f und g beide stetig für x>0 und beide differenzierbar für x>0 sind.
dann anwenden, dass wenn f'(x) [mm] \le [/mm] g'(x) ist, dass dann auch f(x) [mm] \le [/mm] g(x) ist ?
dann müsste ich ja nur ableiten und dann steht da 1/x [mm] \le [/mm] 1 für x>0 und das wird wohl stimmen.
oder kann ich das mit dem stetig und differenzierbar nicht so einfach sagen ?
Besten Dank !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Do 14.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Für den Beweis reicht es z.z [mm]\log(x)\leq[/mm] x-1
>
> > LG
>
> kann ich mir da einfach 2 Funktionen definieren
> f(x):= logx und g(x):= x-1 [mm]\forall[/mm] x > 0
>
> und dann einfach sagen, dass f und g beide stetig für x>0
> und beide differenzierbar für x>0 sind.
>
> dann anwenden, dass wenn f'(x) [mm]\le[/mm] g'(x) ist, dass dann
> auch f(x) [mm]\le[/mm] g(x) ist ?
Das ist i.a. falsch: beispiel: f(x):=5, g(x):=0 (x [mm] \in \IR). [/mm] Dann ist f'=g', aber f>g
FRED
>
> dann müsste ich ja nur ableiten und dann steht da 1/x [mm]\le[/mm]
> 1 für x>0 und das wird wohl stimmen.
>
> oder kann ich das mit dem stetig und differenzierbar nicht
> so einfach sagen ?
>
> Besten Dank !
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:35 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Spalding |
hm.
wenn ich sage h(x):= x-1-logx
und dann extrema bestimmen soll dann leite ich ja ab.
aber dann steht da ja h'(x) = 1-1/x
und das ist doch genau der 1. Teil der Ungleichung.
Was habe ich denn jetzt davon?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Fr 15.04.2011 | | Autor: | barsch |
Hi
> wenn ich sage h(x):= x-1-logx
> und dann extrema bestimmen soll dann leite ich ja ab.
> aber dann steht da ja h'(x) = 1-1/x
und dann? Bisher hast du nur die Ableitung, aber keine Extrempunkte bestimmt!
Mach' das doch mal. Handelt es sich bei Extrema um Hoch- oder Tiefpunkt(e)?
Erinnerung: Du willst zeigen [mm] {0\le{g(x)-f(x)}:=h(x)}
[/mm]
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Spalding |
Ok.
also steht dann da
h'(x) = 1-1/x
Nullstellen: x=1
h''(x) = 1/x²
für x=1 => h''(x)=1 => Tiefpunkt.
somit folgt, dass h(x) an der Stelle x=0 einen Tiefpunkt hat TP(1,0).
somit wurde auch gezeigt, dass $ [mm] {0\le{g(x)-f(x)}:=h(x)} [/mm] $
kann ich den Ausdruck jetzt einfach wieder umstellen und sagen:
f(x) [mm] \le [/mm] g(x) ?
Muss ich das selbe jetzt machen, wo ich einmal 1-1/x und zum anderen lnx als funktionen nehme ?
oder kann ich das schon irgendwie aus den ableitungen sagen?
VIELEN DANK !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Fr 15.04.2011 | | Autor: | barsch |
> Ok.
>
> also steht dann da
> h'(x) = 1-1/x
> Nullstellen: x=1
>
> h''(x) = 1/x²
> für x=1 => h''(x)=1 => Tiefpunkt.
>
> somit folgt, dass h(x) an der Stelle [mm] x=\red{1} [/mm] einen Tiefpunkt
> hat TP(1,0).
h hat globales Minimum in P(1/0). Das bedeutet, für x=1 ist h(x)=g(x)-f(x)=0 und für alle [mm] x\in(0,\infty)\backslash\{1\} [/mm] ist $h(x)={g(x)-f(x)}>0$ und somit insgesamt [mm] h(x)={g(x)-f(x)}\ge{0}. [/mm] Wenn also [mm] h(x)\ge{0} [/mm] für alle x>0, dann ist [mm] g(x)\ge{f(x)} [/mm] für alle x>0.
Man kann hier zusätzlich Monotonie von h betrachten. Von links kommend (in Richtung TP) ist h monoton fallend, dann monoton steigend.
> somit wurde auch gezeigt, dass [mm]{0\le{g(x)-f(x)}:=h(x)}[/mm]
>
> kann ich den Ausdruck jetzt einfach wieder umstellen und
> sagen:
> f(x) [mm]\le[/mm] g(x) ?
siehe oben.
> Muss ich das selbe jetzt machen, wo ich einmal 1-1/x und
> zum anderen lnx als funktionen nehme ?
Lies dir noch einmal die Antwort von kamaleonti durch oder gehe so vor wie bei der ersten Ungleichung.
Gruß
barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Spalding |
Vielen Dank !
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