www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Ungleichung beweisen
Ungleichung beweisen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Mo 22.10.2012
Autor: Blackburn4717537

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die folgende Ungleichung für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:

2! * 4! * ... * (2n)! [mm] \ge [(n+1)!]^n [/mm]

Hallo,

hat jemand einen Tipp für mich, wie ich hier ansetzen kann?
Per Induktion habe ich versucht, ist aber sinnlos, da man schnell ab einem gewissen Punkt nicht weiterkommt.

        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Mo 22.10.2012
Autor: Diophant

Hallo,

mache dir zunächst klar, dass stets

[mm] (a-k)!*(a+k)!>(a!)^2 [/mm]  (k>0)

gilt. Das rechnet man direkt nach. Der Term auf der linken Seite wächst dabei, wenn k größer wird. Und dieses Prinzip sollte sich auf deine Aufgabe übertragen lassen, um sie ebenfalls direkt und ohne Induktion zu zeigen. Du hast n Faktoren auf der linken Seite (sofern du die Fakultäten nicht antastest), dies entspricht der Potenz auf der rechten Seite.


Gruß, Diophant



Bezug
                
Bezug
Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Mi 24.10.2012
Autor: Blackburn4717537

Ich habe mal die Bedingungen für die Ungleichung so umgeändert, wie ich sie brauche, da ich mit der Fakultät aus einer negativen Zahl nichts anfangen kann, und wir das auch nicht hatten.

Also z.z.: (a-k)! * (a+k)! [mm] \ge (a!)^2 [/mm] für a [mm] \ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0

Beweis:

(a+k)! * (a-k)! = [mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1) }_{k-Faktoren} \underbrace{ * a * (a-1) * ... * 1}_{= a!} \underbrace{ * (a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{= (a-k)!} [/mm]

Es gilt:

[mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \ge \underbrace{a * (a-1) * ... * (a-k+1)}_{k-Faktoren} [/mm]

[mm] \gdw \underbrace{\underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \underbrace{(a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{(a-k)!}}_{a-Faktoren} \ge [/mm] a!

[mm] \Rightarrow [/mm] (a+k)! * (a-k)! [mm] \ge (a!)^2 [/mm]

Ist das so richtig?

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Do 25.10.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich habe mal die Bedingungen für die Ungleichung so
> umgeändert, wie ich sie brauche, da ich mit der Fakultät
> aus einer negativen Zahl nichts anfangen kann, und wir das
> auch nicht hatten.

das war auch nicht so gemeint, sondern meiner Schludrigkeit geschuldet. Natürlich muss k zwiscehn 0 und a liegen.

>
> Also z.z.: (a-k)! * (a+k)! [mm]\ge (a!)^2[/mm] für a [mm]\ge[/mm] k [mm]\ge[/mm] 0
>
> Beweis:
>
> (a+k)! * (a-k)! = [mm]\underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1) }_{k-Faktoren} \underbrace{ * a * (a-1) * ... * 1}_{= a!} \underbrace{ * (a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{= (a-k)!}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]\underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \ge \underbrace{a * (a-1) * ... * (a-k+1)}_{k-Faktoren}[/mm]
>
> [mm]\gdw \underbrace{\underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \underbrace{(a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{(a-k)!}}_{a-Faktoren} \ge[/mm]
> a!
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a+k)! * (a-k)! [mm]\ge (a!)^2[/mm]
>
> Ist das so richtig?

ich sehe es noch nicht so ganz. Könntest du das noch etwas erläutern?

Ich habe auch momentan  wenig Zeit. []Hier hatte ich das (ich heiße dort mittlerweile 'Senior_Emeritus') auch mal angewendet, vielleicht hilft dir dieser Thread zu einer alten russischen IMO-Aufgabe ja auf für den Rest deiner Frage ein Stück weiter.

Ansonsten werde ich später (heute Mittag oder heute Abend) hier wieder vorbeischauen.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Do 25.10.2012
Autor: Blackburn4717537

Ok, die Erläuterungen stehen rechts und in Klammern in der jeweiligen Zeile.

Beweis:

(a+k)! * (a-k)! = [mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1) }_{k-Faktoren} \underbrace{ * a * (a-1) * ... * 1}_{= a!} \underbrace{ * (a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{= (a-k)!} [/mm] (Da a [mm] \ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0 gilt, enthält (a+k)! auch a!. Um das zu verdeutlichen habe ich die Fakultäten in Pünkchtenschreibweise hingeschrieben.)

Es gilt:

[mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \ge \underbrace{a * (a-1) * ... * (a-k+1)}_{k-Faktoren} [/mm] (Auf beiden Seiten stehen k-Faktoren, und jeder Faktor auf der linken Seite ist größer gleich jedem Faktor auf der rechten Seite, daher gilt diese Ungleichung. Man beachte, dass a [mm] \ge [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0 gilt!)

[mm] \gdw \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \underbrace{(a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{(a-k)!} \ge [/mm] a! (Diese Ungleichung entsteht, wenn ich die Ungleichung darüber mit (a-k)! auf beiden Seiten multipliziere. Dann habe ich auf der rechten Seite a! stehen, da a! = a * (a-1) * ... * (a-k+1) * (a-k)!
Auf der linken Seite steht [mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1)}_{k-Faktoren} \underbrace{(a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{(a-k)!}. [/mm]
Wir haben k-Faktoren und a-k-Faktoren, insgesamt also a-Faktoren.

Wenn wir dies jetzt anwenden auf unsere allererste Gleichung (ganz oben), erhalten wir

(a+k)! * (a-k)! = [mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1) }_{k-Faktoren} \underbrace{ * a * (a-1) * ... * 1}_{= a!} \underbrace{ * (a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{= (a-k)!} [/mm] = [mm] \underbrace{(a+k) * (a+k-1) * ... * (a+1) }_{k-Faktoren} \underbrace{ * (a-k) * (a-k-1) * ... * 1}_{= (a-k)!} \underbrace{ * a * (a-1) * ... * 1}_{= a!} \ge (a!)^2 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] (a+k)! * (a-k)! [mm] \ge (a!)^2 [/mm]

Ist das so richtig?

(Das ist natürlich nicht der komplette Beweis für die Aufgabe, sondern nur ein Teil davon. Ich möchte halt erstmal wissen, ob das überhaupt so richtig ist, was ich gemacht habe.)

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Do 25.10.2012
Autor: reverend

Hallo Blackburn########,

das ist alles richtig. Da Du schon erkannt hast, dass auch links a! enthalten ist, kannst Du Dir etwas Schreibarbeit sparen, indem Du die ganze Ungleichung dadurch teilst.

Übersichtlicher wird die Rechnung mit der Produktschreibweise [mm] a!=\produkt_{k=1}^{a}k [/mm] etc.

Grüße
reverend


Bezug
                                                
Bezug
Ungleichung beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Do 25.10.2012
Autor: Blackburn4717537

Edit: Man kann das ganze auch per Induktion und ist deutlich einfacher, als das, was ich hier gemacht habe.

Hallo reverend,

danke für den Tipp. :)

Um die Aufgabe zu beweisen (z.z.: [mm] \produkt_{k=1}^{n}(2k)! \ge [(n+1)!]^n), [/mm] benutze ich nun (a+k)! * (a-k)! [mm] \ge (a!)^2 [/mm]

Das Produkt [mm] \produkt_{k=1}^{n}(2k)! [/mm] lässt sich durch wiederholte Anwendung von (a+k)! * (a-k)! schreiben.

Setze a := n+1 , [mm] k_j [/mm] := n - (2j - 1) für j = 1, 2, ..., [mm] \bruch{n+1}{2}. [/mm]

Falls n eine ungerade Zahl ist, ist n+1 eine gerade Zahl.
Dann gilt:

[mm] \produkt_{k=1}^{n}(2k)! [/mm] = 2! * 4! * 6! * ... * (2n)! = [mm] \underbrace{(n+1-\overbrace{(n-1)}^{k_1})!}_{=2!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1+\overbrace{(n-1)}^{k_1})!}_{=(2n)!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1-\overbrace{(n-3)}^{k_2})!}_{=4!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1+\overbrace{(n-3)}^{k_2})!}_{=(2n-2)!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1-\overbrace{(n-5)}^{k_3})!}_{=6!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1+\overbrace{(n-5)}^{k_3})!}_{=(2n-4)!} [/mm] * ... * [mm] \underbrace{(n+1-\overbrace{(n-(2*\bruch{n+1}{2} - 1))}^{k_\bruch{n+1}{2}})!}_{=(n+1)!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1+\overbrace{(n-(2*\bruch{n+1}{2} - 1))}^{k_\bruch{n+1}{2}})!}_{=(n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(n+1)!} \ge [(n+1)!]^n [/mm]

Hier muss man ein (n+1)! wegkürzen, weil jede Fakultät nur exakt einmal vorkommen darf. Auf der linken Seite der Ungleichung haben wir n verschiedene Fakultäten stehen, und daher gilt die obige Ungleichung.

Falls n eine gerade Zahl ist, ist n+1 eine ungerade Zahl.
Ungerade Fakultäten dürfen in dem Produkt nicht auftauchen, d.h. wir streichen in der obigen Ungleichung [mm] \underbrace{(n+1-\overbrace{(n-(2*\bruch{n+1}{2} - 1))}^{k_\bruch{n+1}{2}})!}_{=(n+1)!} [/mm] * [mm] \underbrace{(n+1+\overbrace{(n-(2*\bruch{n+1}{2} - 1))}^{k_\bruch{n+1}{2}})!}_{=(n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(n+1)!} [/mm]
und somit folgt auch die Behauptung.

Stimmt das so?

Bezug
                                                        
Bezug
Ungleichung beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Fr 26.10.2012
Autor: reverend

Hallo Blackburn,

diese Frage ist mir durchgegangen, und dem Rest des Forums offenbar auch.

Alles richtig. Ich vermute, Du hast den Zettel aber auch inzwischen abgegeben, wie Du in einem andern Thread schon schriebst, oder?

Grüße
reverend


Bezug
                                                                
Bezug
Ungleichung beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:29 Sa 27.10.2012
Autor: Blackburn4717537

Ja, den Zettel habe ich schon abgegeben.
Aber ich habe dann doch den induktiven Beweis abgegeben.

Und danke für die Hilfe! :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de