Ungleichung für Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Di 12.11.2013 | | Autor: | hula |
Guten Tag!
Sei $p>2$, und ich betrachte [mm] $f(x)=x^p:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+$. [/mm] Nun sei [mm] $1\le K\in\mathbb{N}$ [/mm] und ich definiere folgende Funktion: [mm] $g(x)=f(x)\wedge [/mm] K [mm] :=\min\{f(x),K\}$. [/mm] Stimmt folgendes:
[mm] $|g(x)-g(y)|\le pK^{p-1}|x-y|$ [/mm]
Wir machen eine Fallunterscheidung. 1. Fall [mm] $g(x)=x^p,g(y)=y^p$. [/mm] Mein Beweis benützt den Mittelwertsatz. Klar ist, dass $g$ stetig und in diesem Falle sogar differenzierbar. Also gilt nach dem Mittelwertsatz
[mm] $\frac{|g(x)-g(y)|}{|x-y|}=g'(z)\le [/mm] p [mm] K^{p-1}\iff |g(x)-g(y)|\le pK^{p-1}|x-y| [/mm] $
Wenn $g(x)=g(y)=K$, ist die Ungleichung trivial. Einziger Fall der übrig bleibt ist, o.B.d.A. [mm] $g(x)=x^p$ [/mm] und $g(y)=K$. Gilt in diesem Falle auch
[mm] $|g(x)-K|\le pK^{p-1}|x-y|$?
[/mm]
Gruss
hula
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> Guten Tag!
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> Sei [mm]p>2[/mm], und ich betrachte [mm]f(x)=x^p:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+[/mm].
> Nun sei [mm]1\le M\in\mathbb{N}[/mm] und ich definiere folgende
> Funktion: [mm]g(x)=f(x)\wedge M :=\min\{f(x),M\}[/mm].
Hallo,
???
Meinst Du
[mm] g(x):=\min\{f(x),M\}?
[/mm]
Gibt es eine Originalaufgabe?
Für den MWS braucht man auch Differenzierbarkeit.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Di 12.11.2013 | | Autor: | hula |
Hallo Angela
Genau, [mm] $g(x)=\min\{f(x),K\}$ [/mm] und [mm] $f(x)=x^p$, [/mm] also auch differenzierbar. Damit habe ich ja alle voraussetzungen des MWS. Stimmt mein Beweis?
Gruss
hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Di 12.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Hallo Angela
>
> Genau, [mm]g(x)=\min\{f(x),M\}[/mm] und [mm]f(x)=x^p[/mm], also auch
differenzierbar. Damit habe ich ja alle voraussetzungen des MWS.
Nein hast du nicht!
Du wendest den MWS ja auf g an und das ist im Allgemeinen eben nicht differenzierbar.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Di 12.11.2013 | | Autor: | hula |
Ah stimmt.
ich habe meine Frage entsprechende bearbeitet. Danke für den Hinweis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Di 12.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
mach am besten eine Fallunterscheidung.
Mach dir klar, dass es ein [mm] $x_0$ [/mm] gibt mit [mm] $f(x_0) [/mm] = M$ und dann Fallunterscheidung:
1.) [mm] $x\le x_0, [/mm] y [mm] \le x_0$
[/mm]
2.) $x < [mm] x_0 [/mm] < y$
3.) $x [mm] \ge x_0, [/mm] y [mm] \ge x_0$
[/mm]
Zwei Fälle davon sind klar, der dritte bedarf einer (einfachen) Abschätzung
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Di 12.11.2013 | | Autor: | hula |
Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich zeigen kann, dass
[mm] $|x^p-K|\le [/mm] p [mm] K^{p-1}|x-y|$
[/mm]
wenn [mm] $|x-y|\le [/mm] 1$ ist?
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Einziger
> Fall der übrig bleibt ist, o.B.d.A. [mm]g(x)=x^p[/mm] und [mm]g(y)=M[/mm].
> Gilt in diesem Falle auch
>
> [mm]|g(x)-M|\le pM^{p-1}|x-y|[/mm]?
Hallo,
ja.
Du mußt es aber nachvollziehbar begründen.
LG Angela
>
> Gruss
>
> hula
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:13 Di 12.11.2013 | | Autor: | hula |
Hallo Angela
Kannst du mir einen Tipp geben für den Fall, dass $|x-y|<1$. Wenn [mm] $|x-y|\ge [/mm] 1$, dann ist alles klar. Danke!
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> Hallo Angela
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> Kannst du mir einen Tipp geben für den Fall, dass [mm]|x-y|<1[/mm].
> Wenn [mm]|x-y|\ge 1[/mm], dann ist alles klar.
Hallo,
zeig doch mal, wie Du diesen Fall gelöst hast.
Mein Tip müßte sich ja im Idealfall irgendwie auf Deine Gedankenwelt beziehen.
Ich vermag im Moment den Unterschied zischen beiden Fällen gar nicht erkennen.
LG Angela
> Danke!
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Di 12.11.2013 | | Autor: | hula |
Hallo Angela
Danke für deine Geduld.
Also, was ich überlegt habe,
[mm] $|x^p-K|\le [/mm] K$, dies gilt trivialerweise. Da [mm] $K\ge 1,|x-y|\ge [/mm] 1$ und [mm] $p\ge [/mm] 2$ kann ich also weiter abschätzen [mm] $K\le pK^{p-1}|x-y|$.
[/mm]
Gruss
hula
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> Also, was ich überlegt habe,
>
> [mm]|x^p-K|\le K[/mm], dies gilt trivialerweise. Da [mm]K\ge 1,|x-y|\ge 1[/mm]
> und [mm]p\ge 2[/mm] kann ich also weiter abschätzen [mm]K\le pK^{p-1}|x-y|[/mm].
Hallo,
diese Abschätzung ist richtig.
Mich würde aber mal - wie bereits erwähnt - die eigentliche Aufgabe interessieren, also den Zusammenhang, in welchem Du die Abschätzung brauchst. Ich finde die Abschätzung nämlich sehr grob.
Du möchtest als nächstes jetzt also [mm] x
[mm] |g(x)-g(y)|=|x^p-K|=|x^p-(K^{1/p})^p|=|f(x)-f(K^{1/p})|
[/mm]
An dieser Stelle kann nun der MWS kommen, denn f ist diffbar.
Er sagt uns: es gibt ein z zwischen x [mm] und K^{1/p} [/mm] mit
[mm] |f(x)-f(K^{1/p})|=f'(z)*|x-y|
[/mm]
Da f monoton wachsend ist, gilt
[mm] ...\le f'(K^{1/p})|x-y|=p*(K^{1/p})^{p-1}|x-y|
Du siehst, daß diese Abschätzung gilt, egal ob |x-y| größer oder kleiner als 1 ist, und Du siehst auch, warum ich Deine Abschätzung grob finde.
LG Angela
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