Ungleichung für a,b,c,d aus R < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm]
max \left\{ \frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right\} \geq \frac{a+c}{b+d} \geq min \left\{ \frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right\}[/mm]
für
[mm]
a,b,c,d > 0,
a,b,c,d \in \mathbb R
[/mm] |
Hallo,
ich grüble schon etwas länger über dieser Aufgabe. Mittlerweile sieht mein Ansatz so aus, dass man folgendes behauptet/beweist:
[mm]
\frac{a}{b} \geq \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} \geq \frac{a+c}{b+d} \geq \frac{c}{d}
[/mm]
Allerdings bin ich mir noch nicht sicher, wie ein sauberer Beweis nun auszusehen hat. Aus der Annhame, dass a,b,c,d > 0 gilt würde ich folgern, dass auch b(b+d)d > 0 ist, was man dazu benutzen könnte, um die Nenner der einzelnen Brüche wegzubekommen. Rein von der Logik und den Testfällen her leuchtet es mir ein, dass der Sachverhalt gilt, jedoch hackt es etwas beim Beweis. Könntet ihr mir dabei helfen oder zumindest Denkanstöße geben?
Viele Grüße
Christoph
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=415512]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Fr 02.04.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]
max \left\{ \frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right\} \geq \frac{a+c}{b+d} \geq min \left\{ \frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right\}[/mm]
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> für
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> [mm]
a,b,c,d > 0,
a,b,c,d \in \mathbb R
[/mm]
> Hallo,
>
> ich grüble schon etwas länger über dieser Aufgabe.
> Mittlerweile sieht mein Ansatz so aus, dass man folgendes
> behauptet/beweist:
>
> [mm]
\frac{a}{b} \geq \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} \geq \frac{a+c}{b+d} \geq \frac{c}{d}
[/mm]
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> Allerdings bin ich mir noch nicht sicher, wie ein sauberer
> Beweis nun auszusehen hat. Aus der Annhame, dass a,b,c,d >
> 0 gilt würde ich folgern, dass auch b(b+d)d > 0 ist, was
> man dazu benutzen könnte, um die Nenner der einzelnen
> Brüche wegzubekommen.
Hallo,
es ist gut, dass du dir Gedanken über einen SAUBEREN Beweis machst.
Der Weg ihn zu finden darf aber ruhig unsauber sein.
Nimm mal an, die Behauptung gilt tatsächlich.
Der vordere Teil der Kettenungleichung lautet
[mm] \frac{a}{b} \geq \frac{a+c}{b+d}
[/mm]
Das lässt sich durch Multlikation mit beiden Nennern umformen zu
a(b+d) [mm] \geq [/mm] b(a+c) und weiter zu
ab+ad [mm] \geq [/mm] ab+bc
ad [mm] \geq [/mm] bc, und das teilst du durch bd:
[mm] \frac{a}{b} \geq \frac{c}{d} [/mm] .
Somit kommen wir von der Behauptung zur Voraussetzung.
Das war die Beweisfindung.
Für einen sauberen Beweis musst du diesen Weg einfach umkehren.
Es geht also los mit
"Aus [mm] \frac{a}{b} \geq \frac{c}{d} [/mm] folgt durch Multiplikation mit bd..."
Entsprechend kannst du auch beim hinteren Teil der Ungleichungskette vorgehen.
Gruß Abakus
> Rein von der Logik und den
> Testfällen her leuchtet es mir ein, dass der Sachverhalt
> gilt, jedoch hackt es etwas beim Beweis. Könntet ihr mir
> dabei helfen oder zumindest Denkanstöße geben?
>
> Viele Grüße
> Christoph
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=415512]
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