Ungleichung lösen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche Zahlenpaare (x,y) [mm] \in \IQ [/mm] und für x,y [mm] \not= [/mm] 0 ist folgende Ungleichung erfüllt:
[mm] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}<1 [/mm] |
Ich habe eine Fallunterscheidung für 4 Fälle gemacht:
1. "x<0 und y<0" hier ist die Ungleichung immer erfüllt
2. "x>0 und y>0" hier gilt für x>1: [mm] y>\frac{x}{x-1}
[/mm]
Die anderen beiden Fälle ("x>0 und y<0", "x<0 und y>0") bekomme ich aber nicht mehr hin. Wie sehen die denn aus?
Außerdem soll ich das Problem auch graphisch lösen. Wie mache ich das denn bzw. wie sieht das denn dann aus?
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Mach aus dem Ganzen eine Gleichung statt Ungleichung und stelle sie nach y um. Der dazu passende Graph stellt die Grenzen der Paare in der x-y-Ebene dar, wobei du entscheiden musst, ob der gültige Bereich ober- oder unterhalb des jeweiligen Astes liegt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Di 24.11.2009 | | Autor: | Balendilin |
> Mach aus dem Ganzen eine Gleichung statt Ungleichung und
> stelle sie nach y um. Der dazu passende Graph stellt die
> Grenzen der Paare in der x-y-Ebene dar, wobei du
> entscheiden musst, ob der gültige Bereich ober- oder
> unterhalb des jeweiligen Astes liegt.
>
Und wie kann ich das entscheiden?
Wenn ich mich nicht vertue, dann ist das nämlich nicht einfach bloß "unter" oder "über", sondern ich habe z.B. in dem Quadranten unten links alle Zahlpaare, im Quadranten oben links aber alle über der Kurve. Und "rechts der y-Achse" sieht das noch viel komplizierter aus bzw. da weiß ich gar nicht, welche Fläche nun die gesuchte ist.
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Der Graph und die senkrechte Asymptote bei x=1 zerlegen die x-y-Ebene in 4 Teilflächen. Nimm aus jeder Teilfläche je einen x-y-Wert als Vertreter, und du siehst, wass dann für alle Werte dieser Fläche geschieht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Balendilin |
> Der Graph und die senkrechte Asymptote bei x=1 zerlegen die
> x-y-Ebene in 4 Teilflächen. Nimm aus jeder Teilfläche je
> einen x-y-Wert als Vertreter, und du siehst, wass dann für
> alle Werte dieser Fläche geschieht.
Hast du die Aufgabe eigentlich gerechnet? Das stimmt nämlich nicht, wie ich jetzt raus gefunden habe:
-Für x<0 und y<0 ist die Ungleichung immer erfüllt.
-Für x<0 und y>0 ist die Ungleichung nur dann erfüllt, wenn gilt: [mm] y>\frac{x}{x-1}
[/mm]
Ersteres ist unter der Kurve, zweites über der Kurve. Und dazwischen "fehlt" ein Stückchen Fläche.
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Hier ist noch mal die Fläche mit den erlaubten Paaren. Übersehen habe ich, dass weder x noch y 0 sein darf.Die grünen Flächen im Bild sind Lösungswerte(-paare), die weißen Flächen und roten Linien nicht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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