Ungleichung mit Beträgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Nessy |
Hallo,
habe folgende Ungleichung
[mm] \bruch{x\left| x + 1 \right|- 2\left| x + 1 \right|}{x^2 - 4} [/mm] > [mm] \left| 3 - \left| x \right| \right|
[/mm]
bei der ich die Lösungsmenge bestimmen soll. Irgendwie komme ich da nicht weiter, vor allem da ich mehrere Fälle betrachten soll.
Kann mir vielleicht jemand erklären wie ich das anstellen kann?
Gruß
Nessy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Du kannst dich bei dieser Aufgabe vor ein paar Fallunterscheidungen bewahren, indem du im Zähler den Term $|x+1|$ ausklammerst und im Nenner die dritte Binomische Formel rückgängig machst. Damit stellst du fest, dass die linke Seite mit dem Term [mm] $\frac{|x+1|}{x+2}$ [/mm] übereinstimmt. Somit bleibt die Ungleichung
[mm] $\frac{|x+1|}{x+2}>|3-|x||$ [/mm] zu beweisen.
Dies machst du am besten über einige Fallunterscheidungen.
Meld' dich einfach wieder, wenn es weitere Probleme gibt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Nessy |
Hey Hanno,
vielen dank für deinen Tip. Er hat mir schon geholfen. Nur bei der Suche nach den Fällen stelle ich mich noch unbeholfen an! Hast du da vielleicht noch einpaar Ratschläge nach welchen Kriterien ich eigentlich Fallunterscheidungen durchführen muss? Es hängt ja nicht von den Beträgen ab, da ich bei Gleichungen ohne Beträge auch Fälle unterscheiden muss. Mir ist irgendwie nicht klar, welcher Fall? Wieso?
Lieben Gruß
Nessy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Nessy |
ich habe folgende Fälle:
I. x+1 [mm] \ge [/mm] 0 und x [mm] \ge [/mm] 0
II. x+1 < 0 und x [mm] \ge [/mm] 0
III. x+1 [mm] \ge [/mm] 0 und x < 0
IV. x+1 < 0 und x < 0
schon beim zweiten Fall hab ich bei der Berechnung der Grundbedingung für Fall 2 einen Widerspruch also x < -1 und x [mm] \ge [/mm] 0! Heisst das jetzt das die Lösungsmenge für Fall 2 leer ist, oder das ich meine Fälle einfach falsch definiert habe?
Kann mir jemand sagen wie ich das machen soll?
Gruß
Nessy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nessy!
Unterscheide die folgende Fälle:
1) $x<-3$
2) [mm] $-3\le [/mm] x<-2$
3) $-2<x<-1$
4) [mm] $-1\le [/mm] x < 0$
5) $0 [mm] \le [/mm] x$.
Überlege dir in allen fünf Fällen, was mit den drei vorkommenden Beträgen passiert und was du außerdem beachten musst, wenn du (falls du dies tust) die Ungleichung mit $x+2$ multiplizierst.
Versuche es bitte mal und poste uns deinen Lösungsversuch zur Kontrolle (wenn du noch auf unsere Seite kommst). Ansonsten kannst du dein Ergebnis ja auch überprüfen, indem du die beiden Seiten einfach mal plottest.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Nessy |
Hallo Stefan,
zunächst vielen Dank für den Tip mit den Fällen.´
Lieben Gruß
Nessy
Hier meine Lösung ( es kommt zwar nicht das Ergebnis raus, welches rauskommt wenn geplottet wird, aber ich denke, das es den richtigen Ansatz hat)
[mm] \bruch{x|x+1|-2|x+1|}{x^2-4} [/mm] > |3-|x||
x-2 im Zähler ausgeklammert und 3. Binomische Formel im Nenner rückgängig gemacht;
Kürzen ergibt:
[mm] \bruch{|x+1|}{x+2} [/mm] > |3-|x||
Generell gilt x [mm] \ne \pm2
[/mm]
Lösung durch vorgegebene Fallunterscheidungen:
Fall 1: x < -3
[mm] \bruch{|x+1|}{x+2} [/mm] = [mm] \bruch{-(x+1)}{x+2} [/mm] > |3-|x|| = -(3-x)
-x-1 > (x-3)(x+2)
0 > [mm] x^2-5
[/mm]
[mm] \pm\wurzel{5} [/mm] > x
[mm] x\in(-\wurzel{5},\wurzel{5})
[/mm]
Zusammen mit der Grundbedingung x < -3 ergibt sich:
[mm] L_1 [/mm] = {}
2. Fall: -3 [mm] \le [/mm] x < -2
Gleiche Berechnung wie bei Fall 1 also
[mm] x\in(-\wurzel{5},\wurzel{5})
[/mm]
Zusammen mit der Grundbedingung ergibt sich:
[mm] L_2 [/mm] = [mm] (-\wurzel{5}, [/mm] -2]
3. Fall: -2 < x <-1
[mm] \bruch{|x+1|}{x+2} [/mm] = [mm] \bruch{-(x+1)}{x+2} [/mm] > |3-|x|| = 3 - x
-x-1 > (3-x)(x+2)
0 > [mm] -x^2+2x+7
[/mm]
0 > [mm] (x-1)^2-1-7
[/mm]
[mm] \pm\wurzel{8} [/mm] > x-1
[mm] x\in(-\wurzel{8}+1, \wurzel{8}+1)
[/mm]
Zusammen mit der Grundbed. ergibt das:
[mm] L_3 [/mm] = [mm] (-\wurzel{8}+1, [/mm] -1)
4. Fall: -1 [mm] \le [/mm] x <0
[mm] \bruch{|x+1|}{x+2} [/mm] = [mm] \bruch{x+1}{x+2} [/mm] > |3-|x|| = 3 - x
x+1 > (3-x)(x+2)
0 > [mm] x^2 [/mm] - 5
[mm] \pm\wurzel{5} [/mm] > x
[mm] x\in(-\wurzel{5}, \wurzel{5})
[/mm]
Zusammen mit der Grundbed. ergibt es:
[mm] L_4 [/mm] = [-1, 0)
5. Fall: 0 [mm] \le [/mm] x
Gleiche Berechnung wie Fall 3, nur Vorzeichenwechsel!
[mm] x\in(-\wurzel{8}+1, \wurzel{8}+1)
[/mm]
Mit Grundbed. :
[mm] L_5 [/mm] = [0, [mm] \wurzel{8}+1)
[/mm]
L_gesamt = {} [mm] \cup (-\wurzel{5}, [/mm] -2] [mm] \cup (-\wurzel{8}+1, [/mm] -1) [mm] \cup [/mm] [-1, 0) [mm] \cup [/mm] [0, [mm] \wurzel{8}+1) [/mm] \ (-2, 2)
p.s. Habe die Äquivalenzzeichen nicht vergessen! Das Laden der Formeln dauert ewig :)
Zudem ist die Formatierung auch etwas daneben! Tut mir leid für Eure Augen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Nessy
Zunächst einmal: da fehlt noch ein Fall!
Es sollten folgende Fälle sien:
Fall 1: $x < -3_$
Fall 2: $-3 [mm] \le [/mm] x < -2_$
Fall 3: $-2 [mm] \le [/mm] x < -1_$
Fall 4: $-1 [mm] \le [/mm] x < 0_$
Fall 5: $0 [mm] \le [/mm] x < 3_$
Fall 6: $3 [mm] \le [/mm] x_$
Das ist einer der seltenen Fälle, wo Stefans Antwort nicht ganz korrekt war. 
>
> Hier meine Lösung ( es kommt zwar nicht das Ergebnis raus,
> welches rauskommt wenn geplottet wird, aber ich denke, das
> es den richtigen Ansatz hat)
>
Na, dann stimmt wohl dein Plot nicht?
> [mm]\bruch{x|x+1|-2|x+1|}{x^2-4}[/mm] > |3-|x||
>
> x-2 im Zähler ausgeklammert und 3. Binomische Formel im
> Nenner rückgängig gemacht;
> Kürzen ergibt:
>
> [mm]\bruch{|x+1|}{x+2}[/mm] > |3-|x||
>
> Generell gilt x [mm]\ne \pm2
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Lösung durch vorgegebene Fallunterscheidungen:
>
> Fall 1: x < -3
>
> [mm]\bruch{|x+1|}{x+2}[/mm] = [mm]\bruch{-(x+1)}{x+2}[/mm] > |3-|x|| =
> -(3-x)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier musst du schon etwas exakter vorgehen:
wenn $x < -3_$, dann ist $|x| = -x_$, somit ist
$|3-|x|| = |3 - (-x)| = |3 +x|_$
Und weiter:
$|3 +x| = - (3+x)_$
Die Ungleichung wird also zu
[mm] $\bruch{-(x+1)}{x+2} [/mm] > - (3+x)$
> -x-1 > (x-3)(x+2)
Hier ist schon der nächste Fehler:
Wenn $x < -3_$ ist, dann ist doch $x+2_$ negativ.
Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, dann kehrt sich der Vergleichsoperator. Aus grösser wird kleiner.
Zusammen mit der ersten Korrektur folgt dann:
$-(x+1) < -(x+3)(x+2)_$
$x+1 > (x+3)(x+2)_$
$x+1 > [mm] x^{2}+5x+6_$
[/mm]
$0 > [mm] x^{2}+4x+5_$
[/mm]
$-1 > [mm] x^{2}+4x+4_$ [/mm] (zwecks quadratischer Ergänzung)
$-1 > [mm] (x+2)^{2}$
[/mm]
Das gibt tatsächlich keine Lösung, denn eine reelle Quadratzahl ist immer [mm] $\ge [/mm] 0$.
>
> Zusammen mit der Grundbedingung x < -3 ergibt sich:
>
> [mm]L_1[/mm] = {}
>
Zufälligerweise
> 2. Fall: -3 [mm]\le[/mm] x < -2
> Gleiche Berechnung wie bei Fall 1 also
>
Nein, das müsste dich stutzig machen. Dann hätte man ja gleich Fall 1 und Fall 2 zusammenfassen können! Es muss immer irgendwo ein Unterschied sein! Es sei denn, du weisst gar nicht, wie man auf die 6 Fälle kommt! Weisst du das?
Ich überlege hier: $|x+1| = -(x+1)_$, $|x|=-x_$ und $|3+x|=3+x_$
Somit die Ungleichung:
[mm] $\bruch{-(x+1)}{x+2} [/mm] > x+3$
Auch hier ist der Nenner negativ, also:
$-(x+1) < (x+2)(x+3)$
$-x-1 < [mm] x^{2}+5x+6$
[/mm]
$0 < [mm] x^{2}+6x+7$
[/mm]
[mm] $x^{2}+6x+7 [/mm] > 0$
[mm] $x^{2}+6x+9 [/mm] -2 > 0$
[mm] $x^{2}+6x+9 [/mm] > 2$
[mm] $(x+3)^{2} [/mm] > 2$
Weil ja die Grundbedingung ist: $-3 [mm] \le [/mm] x < -2$ gilt:
$0 [mm] \le [/mm] x+3 < 1_$
Und somit auch $0 [mm] \le (x+3)^{2} [/mm] < 1$
Fall zwei liefert also auch keine Lösungen.
>
> [mm]x\in(-\wurzel{5},\wurzel{5})
[/mm]
>
> Zusammen mit der Grundbedingung ergibt sich:
>
> [mm]L_2[/mm] = [mm](-\wurzel{5},[/mm] -2]
>
Hier hat dir dein Glück für einmal nicht geholfen!
> 3. Fall: -2 < x <-1
> [mm]\bruch{|x+1|}{x+2}[/mm] = [mm]\bruch{-(x+1)}{x+2}[/mm] > |3-|x|| = 3 -
> x
> -x-1 > (3-x)(x+2)
> 0 > [mm]-x^2+2x+7
[/mm]
> 0 > [mm](x-1)^2-1-7
[/mm]
> [mm]\pm\wurzel{8}[/mm] > x-1
> [mm]x\in(-\wurzel{8}+1, \wurzel{8}+1)
[/mm]
>
> Zusammen mit der Grundbed. ergibt das:
>
> [mm]L_3[/mm] = [mm](-\wurzel{8}+1,[/mm] -1)
>
Da solltest du wohl wieder selber weiterrechnen. Ich erhalte:
$-3 [mm] \le [/mm] x [mm] <\wurzel{2}-3$
[/mm]
Den Rest rechnest du wieder weiter?
Vielleicht zur Kontrolle:
Fall 4: keine Lösung
Fall 5: [mm] $\wurzel{5} [/mm] < x < 3_$
Fall 6: $3 [mm] \le [/mm] x < [mm] 1+\wurzel{8}$
[/mm]
Die Intervalle der Fälle 5 und 6 werden natürlich zusammengefasst zu:
[mm] $\wurzel{5} [/mm] < x < [mm] 1+\wurzel{8}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Do 04.11.2004 | | Autor: | Nessy |
Hallo Paul,
vielen Dank auch an dich für die ausführliche Korrektur!
Das Auftischen meiner Defizite schubst mich zwar zur Depression, aber stachelt auf der anderen Seite meinen Ehrgeiz ;)
> Nein, das müsste dich stutzig machen. Dann hätte
> man ja gleich Fall 1 und Fall 2 zusammenfassen können! Es
> muss immer irgendwo ein Unterschied sein! Es sei denn, du
> weisst gar nicht, wie man auf die 6 Fälle kommt! Weisst du
> das?
wohl wahr! ich hab keine Ahnung wie man auf die Fälle kommt!
Das war eigentlich auch mein Hauptproblem, welches ich in jedem Thread von mir wiederholt habe...aber leider keine Beachtung gefunden :(
Vor allem die Kombination vieler Fälle auf einmal macht mir zu schaffen!
Eine Idee, wie ich mir diese Logik aneignen kann?
> Na, dann stimmt wohl dein Plot nicht?
Einen Tip, welchen Plotter ich verwenden sollte? Einer der alles kann?
Lieben Gruß
Nessy
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Hallo Nessy,
wenn du Beträge oder andere abschnittweise definierte Funktionen auflöst, dann musst du einfach zwischen den einzelnen Definitionsbereichen unterscheiden.
Zum Beispiel hat f(x)=|x-2| zwei Definitionsbereiche. Einer geht von [mm] -\infty [/mm] bis 2, dort ist f(x)=2-x. Auf dem Rest von 2 bis [mm] +\infty [/mm] ist f(x)=x-2.
Diese Unterscheidung musst du für alle Beträge deiner Gleichung machen. Bei einem Betrag bekommst du 2 Bereiche, bei zwei Beträgen 4, bei drei Beträgen 8, und so weiter, weil jeder Betrag eine neue +/- Unterscheidung notwendig macht.
Zum Glück hast du in der Realität nicht so viele Fallunterscheidungen, weil mehrere Bereiche sich überlappen oder sogar zusammenfallen.
Bsp.:
|x-2|=|2x+6|
Du musst prinzipiell vier Fälle unterscheiden:
1. Fall: [mm](x-2)<0,\ (2x+6)<0 \Rightarrow -x+2=-2x-6[/mm]
2. Fall: [mm](x-2)<0,\ (2x+6)>0 \Rightarrow -x+2=2x+6[/mm]
3. Fall: [mm](x-2)>0,\ (2x+6)<0 \Rightarrow x-2=-2x-6[/mm]
4. Fall: [mm](x-2)>0,\ (2x+6)>0 \Rightarrow x-2=2x+6[/mm]
Jetzt schaust du nach, für welche x die verschiedenen Fälle auftreten.
1. Fall: [mm](x<2)\wedge(x<-3)\Rightarrow(x<-3)[/mm]
2. Fall: [mm](x<2)\wedge(x>-3)\Rightarrow(-3
3. Fall: [mm](x>2)\wedge(x<-3)\Rightarrow\mathrm{geht\ nicht}[/mm]
4. Fall: [mm](x>2)\wedge(x>-3)\Rightarrow(x>2)[/mm]
Es gibt also nur noch drei Abschnitte für dein x, die du nacheinander durchgehen musst: von [mm] -\infty [/mm] bis -3, von -3 bis 2 und von 2 bis [mm] +\infty.
[/mm]
Das ist das ganze Geheimnis.
Hugo
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