Ungleichung mit Binomialentwic < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Aileron |
| Aufgabe | Für welche [mm] n\in\IN [/mm] ist die Aussage richtig?
[mm] 2^{n} [/mm] * n! < [mm] n^{n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich würde gerne Wissen ob mein Ansatz richtig ist, und ich würde mich freien, wenn mir jemand einen Tipp für den letzten Schritt geben könnte:
Hier mein Lösungsansatz:
die Aussage ist [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] | n > 6 richtig.
Die eingaben 1 bis 5 habe ich in einer Tabelle aufgeführt...
Nun zum Hauptbeweis. (durch Vollständige Induktion)
Induktionsanfang: n = 6:
[mm] 2^{6} [/mm] * 6! < [mm] 6^{6} [/mm] = 46080 < 46656 [mm] \Box
[/mm]
Induktionsschritt: (IV Sei die Ungleichung für alle [mm] n_{0} [/mm] < n [mm] \in \IN [/mm] bewiesen)
[mm] 2^{n+1} [/mm] * (n+1)! < [mm] (n+1)^{n+1}
[/mm]
=> [mm] 2^{n} [/mm] * n! * 2(n+1) < [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} n^{n-k-1} [/mm] * [mm] 1^k
[/mm]
=> [mm] 2^{n} [/mm] * n! * 2(n+1) < [mm] n^{n} \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} n^{-k-1}
[/mm]
nun setze ich die IV ein, und für alle n > 6 kann ich schreiben:
noch zu zeigen:
2(n+1) < [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} n^{-k-1}
[/mm]
und hier bin ich mit meinem Latein am ende.
Wenn der Beweisweg bisher richtig war (was ich bezweifele) habe ich keine Ahnung wie es hier weitergehen soll...
es würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aileron!
Gehe hier etwas anders vor: beginne mit dem Ausgleichsterm im Induktionsschritt und schätze dann ab:
[mm] $$2^{n+1}*(n+1)! [/mm] \ = \ [mm] 2^n*2^1*n!*(n+1) [/mm] \ = \ [mm] \red{2^n*n!}*2*(n+1) [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \red{n^n}*2*(n+1) [/mm] \ < \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Aileron |
Danke, das hat mir weitergeholfen :)
mfg
Aileron
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