Ungleichung mit Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei k(x) eine konvexe Funktion auf dem Intervall I=[a-1 , a+n+1] n [mm] \in \IN
[/mm]
Zeigen Sie:
k(a)+k(a+1)+...+k(a+n) [mm] \le \integral_{a-\bruch{1}{2}}^{a+n+\bruch{1}{2}}{k(x) dx} \le \bruch{1}{2} k(a-\bruch{1}{2}) [/mm] + [mm] k(a+\bruch{1}{2})+k(a+\bruch{3}{2})+...+\bruch{1}{2}k(a+n+\bruch{1}{2})
[/mm]
Zeigen Sie:
m*(m+1)*(m+2)*...*(n-1)*n [mm] \ge \integral_{m-\bruch{1}{2}}^{n+\bruch{1}{2}}{ln(x) dx} \ge \wurzel{m-\bruch{1}{2}}*(m+\bruch{1}{2})*...*(n-\bruch{1}{2})*\wurzel{n+\bruch{1}{2}} [/mm] |
Hallo,
ich sitze jetzt schon seit einiger Zeit vor dieser Aufgabe und kann nicht so recht einen Ansatz finden. Habe schon unendlich viele Bildchen gemalt und versucht mir das ganze klar zu machen. Komme aber nicht so recht vorran.
Für die ersten Ungleichungen scheint mir Induktion sehr sinnvoll allerdings habe ich dann also Induktionsang dort stehen.
k(a) [mm] \le \integral_{a-\bruch{1}{2}}^{a+ \bruch{1}{2}}{k(x) dx}
[/mm]
und für die zweite gleichung
[mm] \integral_{a-\bruch{1}{2}}^{a+ \bruch{1}{2}}{k(x) dx} \le \bruch{1}{2} k(a-\bruch{1}{2}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}k(a+\bruch{1}{2})
[/mm]
nun ist mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich sagen kann, dass diese beiden Ungleichungen auch stimmen.
Für die zweite Aufgabe, habe ich leider noch gar keine Idee.
Wäre dankbar für jegliche hilfestellung
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Mi 09.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei k(x) eine konvexe Funktion auf dem Intervall I=[a-1
> , a+n+1] n [mm]\in \IN[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> k(a)+k(a+1)+...+k(a+n) [mm]\le \integral_{a-\bruch{1}{2}}^{a+n+\bruch{1}{2}}{k(x) dx} \le \bruch{1}{2} k(a-\bruch{1}{2})[/mm]
> +
> [mm]k(a+\bruch{1}{2})+k(a+\bruch{3}{2})+...+\bruch{1}{2}k(a+n+\bruch{1}{2})[/mm]
>
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> Zeigen Sie:
>
> m*(m+1)*(m+2)*...*(n-1)*n [mm]\ge \integral_{m-\bruch{1}{2}}^{n+\bruch{1}{2}}{ln(x) dx} \ge \wurzel{m-\bruch{1}{2}}*(m+\bruch{1}{2})*...*(n-\bruch{1}{2})*\wurzel{n+\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich sitze jetzt schon seit einiger Zeit vor dieser Aufgabe
> und kann nicht so recht einen Ansatz finden. Habe schon
> unendlich viele Bildchen gemalt und versucht mir das ganze
> klar zu machen. Komme aber nicht so recht vorran.
> Für die ersten Ungleichungen scheint mir Induktion sehr
> sinnvoll allerdings habe ich dann also Induktionsang dort
> stehen.
>
> k(a) [mm]\le \integral_{a-\bruch{1}{2}}^{a+ \bruch{1}{2}}{k(x) dx}[/mm]
da man die Konvexheit von [mm] $k\,$ [/mm] ja vorausgesetzt hat, wird man diese sicher auch an irgendeiner Stelle benötigen, um die erste (und vll. auch die zweite) Ungleichung einzusehen. (Evtl. auch nur, um gewisse Eigenschaften konvexer Funktionen zu benutzen.)
Wenn alles scheitert, betrachte halt mal eine spezielle konvexe Funktion.
Leider kann ich Dir im Moment aus Zeitgründen nicht mehr Tipps geben, und lasse die Frage daher mal als "teilbeantwortet" stehen.
> und für die zweite gleichung
>
> [mm]\integral_{a-\bruch{1}{2}}^{a+ \bruch{1}{2}}{k(x) dx} \le \bruch{1}{2} k(a-\bruch{1}{2})[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2}k(a+\bruch{1}{2})[/mm]
>
> nun ist mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich sagen
> kann, dass diese beiden Ungleichungen auch stimmen.
>
> Für die zweite Aufgabe, habe ich leider noch gar keine
> Idee.
>
> Wäre dankbar für jegliche hilfestellung
>
> Grüße
P.S.:
Bei der zweiten Aufgabe sieht es doch sehr nach der ersten aus, nur, dass da anstatt einer Summe ein Produkt plötzlich auftaucht. Also wird man wohl den ersten Teil benutzen und irgendwas mit der Funktion [mm] $\exp$ [/mm] machen, um das Ergebnis zu erhalten.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mi 09.06.2010 | | Autor: | wauwau |
dein Ansatz vollst. Induktion ist richtig.
Rein grafisch kannst du dir überlegen, das das Integral einer konvexen funktioni zwischen zwei Punkten x,y
1. kleiner ist als das Trapez mit den Eckpunkten x,y,f(y),f(x)
2. größer ist als das dem zu 1. ähnlichen Trapez, bei dem die schräge Seite genau durch f((x+y)/2) geht.
und wenn du das dann mathematisch formulierst, hast du die Lösung
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Vielen Dank für die Tips
Habe die erste Ungleichung hinbekommen mit Bildchen und Erklärung. Ist zwar nicht 100 % mathematisch sauber glaub ich aber nachvollziehbar finde ich.
Leider habe ich bei der Zweiten Ungleichung gar keinen Ansatz. Könnte man diese auch mit Induktion lösen. Allerdings, hätte ich ja dann 2 Variablen nach denen die Induktion laufen müsste nämlich m und n.
Ach noch eine Frage.
Als Zusatz zu der Aufgabe steht noch zur ersten Umgleichung folgene Frage.
Begründen sie, warum es genügt, das für postive konvexe Funktionen zu zeigen, für den Fall also , wo das Integral wirklich die Fläche unter der Kurve ist.
Ich habe mir mal ein Bildchen gemalt, wo die Funktion im Negativem verläuft und die Summen und so eingezeichnet und meiner Meinung nach gelten diese Ungleichungen gar nicht für negative konvexe Funktion. Stimmt das ? Oder liege ich da total Falsch ?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 09.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das eine ist doch einfach die untersumme mit Schrittlänge 1, das andere die obersumme. also braucht man eigentlich keine Induktion. bei der ln aufgabe schreib mal links und rechts ln vor die Produkte, dann sieht das schon so wie die a) aufgabe aus.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mi 09.06.2010 | | Autor: | BergerBubb |
Hi.
Vielen Dank für den Tip.
Leider ist es in der ersten Ungleichung nicht genau die Unter und Obersumme da noch das [mm] +\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] im Integral steht und die Summanten aber nur von a bis a+n gehen.
Für dein zweiten Tip mit dem ln ziehen, scheint mir schon plausliebel nur habe ist dann in der Mitte der Ungleichung nicht den ln von dem Integral stehen ?
Oder sollte ich das Integral lieber auswärten, also Stammfunktion bilden und die Ränder einsetzen und davon den ln ziehen ?
Vielen Dank schonmal
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