Ungleichung mit Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Fr 03.12.2010 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Sei f : R => R gegeben durch
f(x) = ln(x)
mit x [mm] \in [/mm] D(f) = ]0;1[.
(a) Zeigen Sie für x [mm] \in [/mm] ]0; 1[ die Ungleichung
[mm] \bruch{x-1}{x} [/mm] < ln(x) < x - 1
indem Sie auf dem Intervall [x; 1] den Mittelwertsatz auf f anwenden.
(b) Zeigen Sie für x [mm] \in ]1;\infty[ [/mm] die Ungleichung
[mm] \bruch{x-1}{x} [/mm] < ln(x) < x - 1
indem Sie auf dem Intervall [1; x] den Mittelwertsatz auf f anwenden |
Ok,
a)
[mm] \bruch{x-1}{x} [/mm] < ln(x) < x - 1
= [mm] \bruch{x-1}{x} <\bruch{ln(1) -ln(x)}{1-x} [/mm] < x - 1
= [mm] \bruch{x-1}{x} <\bruch{-ln(x)}{1-x} [/mm] < x - 1
habe dann versucht den Bruch mit (1-x) wegzubekommen aber dann krieg ich bei den anderen jeweils quadr. polynome komm da nicht weiter...
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Huhu,
du sollst das nicht umformen!
Du hast gegeben:
[mm] $\ln(x)$ [/mm] auf dem Intervall $[x,1]$.
Was sagt dir jetzt der Mittelwertsatz dazu?
Nun nach [mm] $\ln(x)$ [/mm] umformen und dran denken, dass [mm] \bruch{1}{x} [/mm] monton fallend ist
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Fr 03.12.2010 | | Autor: | StevieG |
Also ist das was ich bis jetzt gemacht habe falsch? oder soll ich da jetzt einach mit -(1-x) erweitern damit ich ln(x) alleine stehen hab?
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Huhu,
zum einen sind deine Umformungen falsch, zum anderen wird dir so vermutlich nur schwer klar, wie du umformen musst.
Darum verfolge doch einfach den Hinweis.
Wenn du deinen Ansatz weiterverfolgen willst, forme korrekt um und insbesondere verwende Äquivalentpfeile, Gleichheitszeichen sind falsch!
> $ [mm] \bruch{x-1}{x} [/mm] $ < ln(x) < x - 1
> = $ [mm] \bruch{x-1}{x} <\bruch{ln(1) -ln(x)}{1-x} [/mm] $ < x - 1
Wo kommt der Bruch plötzlich her in der Mitte? Vom Himmel gefallen?
Schau dir mal die linke und rechte Seite an und dann überleg, wie du $x-1$ in der Mitte in den Nenner bekommst.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Fr 03.12.2010 | | Autor: | StevieG |
den Bruch habe ich einfach durch den Mittelwertsatz erhalten, ich habe einach in die Formel vom Mittelwertsatz für b und a, 1und x eingesetzt.
aber das wäre ja eigentlich die Ableitung von ln und nicht ln?
keine ahnung wie ich das machen soll
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Huhu,
> keine ahnung wie ich das machen soll
du hast immer noch nicht mit einem Wort meinen Hinweis verfolgt, darum für dich exklusiv nochmal:
Du hast die Funktion [mm] \ln [/mm] auf $[x,1]$ gebenen.
Was sagt dir nun der Mittelwertsatz?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Fr 03.12.2010 | | Autor: | StevieG |
Der Mittelwertsatz sagt mir nun das zwischen x und 1
ein xo ex. an dem die Tangente parallel zu der Sekante,die durch x und 1 verläuft.
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> Der Mittelwertsatz sagt mir nun das zwischen x und 1
> ein xo ex. an dem die Tangente parallel zu der Sekante,die
> durch x und 1 verläuft.
Schön, und nun in Formel?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 03.12.2010 | | Autor: | StevieG |
Mittelwertsatz:
[mm] \bruch{1}{xo}= \bruch{ln(1)-ln(x)}{1-x}= \bruch{-ln(x)}{1-x}
[/mm]
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> [mm]\bruch{1}{x_0}= \bruch{ln(1)-ln(x)}{1-x}= \bruch{-ln(x)}{1-x}[/mm]
Ok.
Ein kleiner Hinweis noch fürs weitermachen: Multipliziere Zähler und Nenner mit (-1), dann hast du die gewünschte Form.
Welche Beziehung besteht nun zwischen [mm] \bruch{1}{x}, \bruch{1}{x_0} [/mm] und 1 ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Fr 03.12.2010 | | Autor: | StevieG |
[mm] \bruch{1}{x}\le \bruch{ln(x)}{(x+1)}\le [/mm] 1
Da wir für x [mm] \in [/mm] ]0,1[ ist [mm] \bruch{1}{x} \le [/mm] 1 und dadurch das [mm] \bruch{ln(x)}{(x+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{xo} [/mm] ist dies auch auf jeden Fall kleiner als 1 , da xo zwischen x und 1 liegt
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Soviele Fehler in 5 Zeilen, mensch mensch.
> Da wir für x [mm]\in[/mm] ]0,1[ ist [mm]\bruch{1}{x} \le[/mm] 1
Aha? Was ist denn [mm] \bruch{1}{0,5} [/mm] ?
Ist das kleiner als 1 ?
> dadurch das [mm]\bruch{ln(x)}{(x+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{xo}[/mm] ist
Wo kommt das + im Nenner her?
Aber das Prinzip hast du anscheinend verstanden.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Fr 03.12.2010 | | Autor: | StevieG |
das bedeutet also das die Ungleichung für x [mm] y\in [/mm] ]0,1[ nicht gilt, da [mm] \bruch{1}{x} [/mm] größer 1 somit ist auch der mittlere Teil größer 1.
Danke für die Hilfe!!!!!
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Nein, das bedeutet es nicht.
Die Ungleichung gilt sogar sehr wohl, du arbeitest nur nicht gründlich genug!
Aber wenn du nichts hier hinschreibst, kann dir auch niemand helfen deinen Fehler zu finden....
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Sa 04.12.2010 | | Autor: | StevieG |
Neeein lol
Ich habe den Fehler gefunden, und zwar ist der Ausdruck x-1 negativ, da x < 1 somit muss ich ein VORZEICHENWECHSEL MACHEN!
Denn dann stimmt es wieder! Gute Aufgabe
Danke für deine Hilfe!
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